Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22
уравнения
введем
новую
функцию
.
y
t
x
=
Тогда
y tx
=
и
dt
y x t
′
= +
.
Уравнение
(*)
преобразуется
в
уравнение
с
разделяющимися
перемен
-
ными
2
1
,
dt t
x t
dx t
+
+ =
или
1
dt
x
dx t
=
,
откуда
.
dx
t dt
x
= Интегрируя
это
уравнение
,
получим
:
2
ln ln ,
2
t
x C
= +
откуда
2
ln
2
x t
C
=
,
т
.
е
.
2
2
t
x Ce
=
.
За
-
меняя
в
последнем
равенстве
t
отношением
x
y
,
окончательно
получим
:
2
2
2
x
y
Ce
x
=
.
1.1.23. Решить
уравнение
.
2
22
xy
yx
dx
dy +
=
Решение. Делая
подстановку
=
, приводим
уравнение
к
виду
:
2
1
2
dt t
x t
dx t
+
+ =
,
отсюда
2 2
1 1
2 2
dt t t
x t
dx t t
+ −
= − =
,
и
потому
2
2
1
dx tdt
x t
=
−
;
2
ln ln 1 ln ;
x t C
= − − +
2 2
2 2 2
; 1 ; ;
1
C Cx
x x y Cx
t x y
= = − =
− −
. ;
222
CxxyCxxy −±=−=
Уравнения, приводящиеся к однородным
1.1.24. Найти
общий
интеграл
(
)
(
)
2 2 1 1 0
x y dx x y dy
− − + − + =
.
Решение. Составим
определитель
из
коэффициентов
уравнения
:
2 2
0
1 1
−
=
−
,
следовательно
,
данное
ДУ
должно
свестись
к
уравнению
с
разделяющимися
переменными
подстановкой
x y z
− =
,
dy dx dz
= −
.
Выполняем
замену
в
уравнении
,
получаем

Страницы