Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим
переменные в уравнении:
(
)
2
3
cos sin
2
0;
cos
t t dt
x dx
x t t
υ
−
+ =
2 0.
dx dt
tgtdt
+ − =
Интегрируем уравнение:
2 ln ,
dx dt
tgtdt C
x t
+ − =
∫ ∫ ∫
2ln ln lncos ln .
x t t C
+ + =
Пропотенцируем уравнение:
2
cos
x t t C
=
или
,cos
2
C
x
y
x
y
x = или .cos C
x
y
xy =
1.1.20. Найти частное решение уравнения ,
2
2
x
yxy
dx
dy +
= если
,
1
=
x
.
1
−
=
y
Решение.
2
2
x
yxy
dx
dy +
= или .)(
22
dxyxydyx += Подстановка
y tx
=
,
.
dy tdx xdt
= +
Подставим значения
y
и
dy
в уравнение:
(
)
(
)
2 2 2
;
x tdx xdt xtx t x dx
+ = +
(
)
(
)
2 2 2
.
x tdx xdt x t t dx
+ = + Сократим на
2
x
и произведём упрощения:
2
tdx xdt tdx t dx
+ = +
или
2
.
xdt t dx
=
Получили
уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в
уравнении (5):
2
.
dt dx
t x
= Проинтегрируем уравнение:
2
,
dt dx
t x
=
∫ ∫
1
ln ,
x C
t
− = +
но так как
,
y
t
x
=
то .ln Cx
y
x
+=−
Найдём по начальным данным:
1
=
x
и
,
1
−
=
y
постоянное
C
:
,1ln
1
1
C+=
−
− откуда
,
1
=
C
тогда частным решением будет:
,1ln +=− x
y
x
,1ln
y
yx
y
x
x
+
−=−−=
.
y
yx
e
x
+
−
=
1.1.21. Решить
уравнение
.
y
xy y xtg
x
′
− =

Страницы