Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23
(
)
2 1 ( 1)( ) 0
z dx z dx dz
− + + − =
.
Действительно
,
переменные
разделяются
:
3 ( 1) ,
zdx z dz
= +
1
z
dz dx
z
+
=
.
Интегрируем
:
1
1 3 ,
dz dx
z
+ =
∫ ∫
ln 3
z z x C
+ + +
.
Заменяя
z x y
= −
,
получаем
общий
интеграл
ln 2
x y x y c
− = + +
.
Особые
решения
отсутствуют
.
1.1.25. Решить
уравнение
2 1
.
2 1
x y
y
x y
− +
′
=
− +
Решение. Проверяем
определитель
:
1 2
3 0
2 1
−
= ≠
−
,
значит
,
данное
ДУ
можно
свести
к
однородному
.
Ищем
точку
пересечения
прямых
:
2 5 0,
2 4 0,
x y
x y
− + =
− + =
0
0
2;
1.
y
x
=
= −
Делаем
замену
1,
x u
= −
2,
y v
= +
,
dx du
=
,
dy dv
=
(
)
[
]
1 2( 2) 5 2( 1) 2 4 0,
u v du u v dv
− − + + + − − − + =
( 2 ) (2 ) 0
u v du u v dv
− + − =
.
Убеждаемся
,
что
получили
однородное
урав
-
нение
:
2
,
2
dv u v
du u v
−
= −
−
2
,
2
dv u v
du u v
−
= −
−
Выполнив
замену
,
v
t
u
=
,
v u t
= ⋅
,
dv dt
t u
du du
= +
получаем
дифференциальное
уравнение
с
разделяющими
-
ся
переменными
:
1 2
,
2
dt y
t u
du t
−
+ = −
−
1 2
,
2
dt t
u t
du t
−
= − −
−
2
1
.
2
dt t
u
du t
−
= −
−
Разделяем
переменные
и
интегрируем
:
2
2
,
1
t du
dt
t u
−
= −
−
2 2
1 2
2 ,
2 1 1
tdt dt du
t t u
− = −
− −
∫ ∫ ∫
2
1
1 1
ln 1 ln ln ln ,
2 1
t
t u c
t
−
− − = − +
+

Страницы