Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17
Итак,
2 2
1
1
2
x C x C
z
t
tg
+ = − ⇒ − = +
+
+
.
Подставляя
z x y
= +
, получим общий интеграл ДУ
2
1
2
x C
x y
tg
−
= +
+
+
.
Чтобы найти особое решение, рассмотрим случай, когда
z
+ =
или
sin 1
z
= −
:
3
2 ,
2
z k
π
π
= +
,
k Z
∈
т.е.
3
2 ,
2
y x k
π
π
+ = +
.
k Z
∈
Окончательно,
3
2 .
2
y k x
π
π
= + −
Это особые решения, т.к. они
удовлетворяют уравнению и в тоже время не могут быть получены из
общего ни при каком значении С.
Итак,
2
1
2
x c
x y
tg
−
+ =
+
+
– общий интеграл,
3
2 ,
2
y x k
π
π
+ = +
k Z
∈
– особые решения ДУ.
Однородные дифференциальные уравнения
1.1.16. Решить уравнение
( ) 0.
x y dx xdy
+ − =
Решение. Уравнение
0
)
(
=
−
+
xdy
dx
y
x
однородное первой степе-
ни относительно переменных
x
и
.
y
Пусть
,
y tx
=
где
t
– новая функция
от
.
x
Найдём дифференциалы произведения:
.
dy xdt tdx
= +
Подставим значение
y
и
dy
из равенства в исходное уравнение:
( ) ( ) 0.
x tx dx x xdt tdx
+ − + =
Произведём упрощения:
2
0,
xdx txdx x dt xtdx
+ − − =
2
0.
xdx x dt
− =
Сократим на
:
x
0.
dx xdt
− =
Получили уравнение с разделяющимися
переменными. Разделим переменные:
.
dx
dt
x
= Проинтегрируем обе час-

Страницы