Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26
Решение. Пусть
y uv
=
,
тогда
.
dy dv du
u v
dx dx dx
= +
Подставим
значе
-
ния
y
и
dx
dy
в
уравнение
:
( )
2
1
1
dv du uv
u v x
dx dx x
+ − = +
+
или
( )
3
2
1 .
1
dv du u
u v x
dx dx x
+ − = +
+
Пусть
.0
1
2
=
+
−
x
u
dx
du
Разделим
перемен
-
ные
в
уравнении
: 0
1
2
=
+
−
x
dx
u
du
или
.
1
2
+
=
x
dx
u
du
Проинтегрируем
обе
части
уравнения
: ,2
∫∫
=
x
dx
u
du
(
)
.1ln2ln
+
=
xu
Произвольное
постоян
-
ное
C
принимаем
равным
нулю
,
т
.
е
.
находим
одно
из
частных
реше
-
ний
:
(
)
2
1 .
u x= +
При
условии
2
0
1
du u
dx x
− =
+
уравнение
( )
3
2
1
1
dv du u
u v x
dx dx x
+ − = +
+
имеет
вид
:
( )
3
1 .
dv
u x
dx
= +
Подставим
в
уравнение
значение
(
)
2
1
u x
= +
:
( ) ( )
2 3
1 1
dv
x x
dx
+ = +
или
1
dv
x
dx
= +
.
Раз
-
делим
переменные
в
уравнении
:
(
)
1 .
dv x dx
= +
Проинтегрируем
обе
части
уравнения
:
(
)
1 ,
dv x dx
= +
∫ ∫
(
)
2
1
.
2
x
v C
+
= +
Подставим
значения
u
и
v
в
равенство
y uv
=
:
( )
( ) ( )
( )
2 4
2 2
1 1
1 1
2 2
x x
y x C C x
+ +
= + + = + +
т
.
е
.
(
)
( )
4
2
1
1 .
2
x
y C x
+
= + +
Проверка
.
Найдём
dx
dy
из
равенства
(
)
( )
4
2
1
1
2
x
y C x
+
= + +
:
( ) ( )
3
2 1 2 1 .
dy
x C x
dx
= + + +
Подставим
значения
dx
dy
и
y
в
исходное
урав
-

Страницы