Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28
( )
1
cos sin sin cos ;
cos
x C x x C x tgx
x
− + + =
;
cos
1
sin
cos
sin
sincos
2
x
xC
x
x
xCx =++−
.
cos
1
cos
sincos
22
x
x
xx
=
+
Получили
тождество
.
Подставим
начальные
условия
0
x
и
1
y
в
общее
решение
sin cos
y x C x
= +
:
1 sin0 cos0,
C
= +
откуда
.
1
C
Следовательно
,
част
-
ное
решение
будет
:
.
cos
sin
x
x
y
1.1.29. Найти
частное
решение
дифференциального
уравнения
3 2
ln 3 ln
y x x y x x
′
− = ,
если
( ) 0
y e
=
.
Решение
.
Разделим
обе
части
уравнения
на
функцию
ln
x x
и
пре
-
образуем
его
к
виду
2
3 ln
ln
y
y x x
x x
′
− = .
Это
уравнение
линейное
.
При
-
меним
подстановку
Бернулли
,
y u v y u v u v
′ ′ ′
= ⋅ = ⋅ + ⋅
,
получим
:
2
3 ln
ln
u v
u v u v x x
x x
⋅
′ ′
⋅ + ⋅ − = ,
сгруппируем
второе
и
третье
слагаемые
в
левой
части
полученного
уравнения
,
вынесем
множитель
u
за
скобку
:
2
3 ln
ln
v
u v u v x x
x x
′ ′
⋅ + ⋅ − =
.
Составим
систему
уравнений
2
0,
ln
3 ln .
v
v
x x
u v x x
′
− =
′
⋅ =
Из
первого
уравнения
системы
найдём
функцию
( )
v x
:
0,
ln
v
v
x x
′
− =
ln
dv v
dx x x
= ,
ln
dv dx
v x x
=
∫ ∫
,
(ln )
ln
dv d x
v x
=
∫ ∫
,
ln ln ln
v x
=
,
( ) ln
v x x
=
.
Подставим
( )
v x
во
второе
уравнение
системы

Страницы