Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

29
и
найдём
функцию
( )
u x
:
2
ln 3 ln
u x x x
′
⋅ =
,
2
3
′
=
,
2 3
3
u x dx x C
= = +
∫
.
Запишем
общее
решение
уравнения
3
( )ln
y x C x
= + .
Чтобы
найти
частное
решение
,
удовлетворяющее
начальному
ус
-
ловию
( ) 0
y e
=
,
подставим
в
общее
решение
x e
=
,
0:
e
=
3
0 ( ) ln
e C e
= + ⋅
,
отсюда
3
C e
= −
и
3 3
( )ln
y x e x
= − .
1.1.30. Найти
общее
решение
уравнения
xxtgyy sin
=
−
′
.
Решение
.
Положим
uv
y
=
,
тогда
vuvuy
′
+
′
=
′
и
данное
уравнение
принимает
вид
xxtguvvuvu sin
=
−
′
+
′
или
xxtguvuvu sin) (
=
−
′
+
′
(*)
Решая
уравнение
0
=
−
′
xtgvv ,
получим
простейшее
частное
решение
:
,coslnln ; ; xvdxxtg
v
dv
xtgv
dx
dv
−===
откуда
.
cos
1
x
v =
Подставляя
v
в
уравнение
(*),
получим
уравнение
: x
x
u sin
cos
1
=⋅
′
,
из
которого
находим
u: , cossin ;sin
cos
1
dxxxdux
x
dx
du
==⋅
откуда
.
2
sin
2
C
x
u +=
Итак
,
искомое
общее
решение
: .
cos
1
2
sin
2
x
C
x
uvy
+==
1.1.31. Решить
дифференциальное
уравнение
.cos
2
xxtgyy
=
⋅
+
′
Решение
.
Полагая
uv
y
=
,
приводим
это
уравнение
к
виду
:
[
]
.cos
2
xvuxtguuv
=
′
+
+
′
Приравняем
квадратную
скобку
к
нулю
: 0
=
+
′
xtguu ,
мы
получим
,
что
.coscoslnln xx, uu tg x dx;
u
du
==−=
Подставляя
полученное
зна
-
чение
и
в
уравнение
,
получаем
следующее
уравнение
для
v:

Страницы