Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30
x
v
x
22
cos
cos
=
⋅
,
отсюда
находим
: .sin ,cos Cxvxv
+
=
=
′
Таким
обра
-
зом
,
).
(sin
cos
x
x
uv
y
+
=
=
1.1.32.
Найти
уравнение
интегральной
кривой
,
проходящей
через
точку
(0;1)
,
если
2
y y xy
′
+ = .
Решение
.
Данное
ДУ
является
уравнением
Бернулли
.
Разделив
его
на
2
y
и
,
положив
1
t y
−
= ,
2
,
t y y
−
′ ′
= − ⋅
имеем
2 1
,
y y y x
− −
′
⋅ + =
или
.
t t x
′
− + =
Полученное
уравнение
является
линейным
.
Будем
искать
ре
-
шение
методом
Лагранжа
:
0 ,
dt
t t t
dx
′
− + =
⇒
− = −
ln ln ,
dt
dx t x C
t
=
⇒
= +
∫ ∫
С
> 0.
Используя
тождество
ln ,
x
x e
=
записы
-
ваем
общее
решение
однородного
уравнения
:
x
t ce
=
.
Ищем
общее
ре
-
шение
неоднородного
уравнения
t t x
′
− + =
,
полагая
(
)
x
t c x e
= ,
где
(
)
c x
–
неизвестная
функция
.
Найдём
её
,
подставив
t
и
t
′
в
уравнение
:
(
)
(
)
,
x x
t c x e c x e
′ ′
= +
(
)
(
)
(
)
,
x x x
c x e c x e c x e x
′
− − + =
.
x x
dc
xe dc xe dx
dx
−
− =
⇒
= −
∫ ∫
Интегрируем
по
частям
:
,
u x
=
;
du dx
=
,
x
dv e dx
−
=
x
v e
−
= −
,
( )
(
)
1
x x x x
c x xe e dx xe e c
− − − −
= − − + = + +
∫
.
Функция
(
)
c x
найдена
,
записываем
общее
решение
уравнения
Бернулли
,
воз
-
вращаясь
к
старой
переменной
:
1
,
t y
−
=
(
)
(
)
1
1 ,
x x x x
z
t c x e xe e c x c e
− −
= ⋅ + + = + +
1
1
1
x
y
x c e
= −
+ +
общее
решение
ДУ
.
Чтобы
найти
частное
решение
,
определим
значение
С
1
,
подста
-
вим
координаты
точки
0, 1
x y
= =
в
общее
решение
1
1
1
1 0.
1
c
c
= ⇒ =
+

Страницы