Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32
1.2.2
.
Найти
частное
решение
уравнения
sin 1
y x
′′
= −
,
удовлетворяю
-
щее
заданным
начальным
условиям
1)0( ,1)0(
=
′
−
=
=
yy
.
Решение. Имеем
z
dx
dy
= , откуда
sin 1
dz
dx
= −
,
(sin 1)
dz x dx
= −
,
1
cos
z x x C
= − − +
,
следовательно
, .cos
1
Cxxy
+
−
−
=
′
Используя
на
-
чальные
условия
1)0(
=
′
y
,
получаем
:
1
1 cos0
C
= − +
,
откуда
2
1
=
C
.
Та
-
ким
образом
cos 2
dy
x x
dx
= − − +
или
(
)
.2cos
dxxxdy
+
−
−
=
Интегрируем
это
уравнение
:
.
2
2
2
2
sin
Cx
x
xy ++−−=
Используя
теперь
начальные
условия
,
1
)
0
(
−
=
=
y
находим
2
1
C
= −
.
Итак
,
искомое
частное
решение
имеет
вид
.12
2
sin
2
−+−−= x
x
xy
1.2.3.
Решить
уравнение
2
2
0,
d y
dx
=
если
0
=
x
,
2
=
y
и
если
1
=
x
,
.
3
=
y
Решение. По
определению
второй
производной
имеем
:
0
d dy
dx dx
=
или
0 .
dy
d dx
dx
= ⋅
Интегрируем
равенство
: ;0
∫∫
⋅=
dx
dx
dy
d
,
1
C
dx
dy
=
откуда
.
1
dxCdy
=
Интегрируем
равенство
:
∫∫
=
,
1
dxCdy
.
21
CxCy
+
=
Получили
общее
ре
-
шение
исходного
уравнения
.
Найдём
частное
решение
по
данным
начальным
условиям
,
под
-
ставив
их
в
общее
решение
.
Имеем
систему
уравнений
первой
степени

Страницы