Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

44
251
4343,0009532,0
041,1
4343,0009532,0
9586,2
=
⋅
=
⋅
−=t
мин
.
1.3.4. Опытом
установлено
,
что
скорость
распада
радия
в
каждый
дан
-
ный
момент
времени
пропорциональна
начальному
количеству
радия
.
В
начальный
момент
времени
)
0
(
=
t
имелось
0
R
грамм
ра
-
дия
.
Составить
формулу
для
вычисления
количества
радия
в
лю
-
бой
момент
времени
.
t
Решение
.
Составим
функцию
закона
распада
радия
.
Пусть
коэф
-
фициент
k
известен
0
(
>
k
Количество
не
распавшегося
радия
в
мо
-
мент
времени
t
обозначим
через
.
R
Требуется
найти
R
как
функцию
от
.
t
Скорость
распада
радия
есть
скорость
изменения
функции
,
связы
-
вающей
t
и
,
R
а
это
есть
производная
.
dt
dR
В
условии
задачи
дано
,
что
.kR
dt
dR
−=
Знак
минус
показывает
,
что
функция
R
–
убывающая
,
следо
-
вательно
, ,0<
dt
dR
а
,
0
>
kR
так
как
0
>
k
и
.
0
>
R
.kdt
R
dR
−=
Интегриру
-
ем
обе
части
уравнения
∫ ∫
−= ,kdt
R
dR
откуда
C
kt
R
ln
ln
+
−
=
или
,
ln
ln
kt
C
R
−
=
−
откуда
.ln kt
C
R
−=
Пропотенцировав
равенство
(4),
по
-
лучим
:
kt
e
C
R
−
=
или
.
kt
Ce
R
−
=
Получили
общий
закон
распада
радия
,
где
t
–
время
и
R
–
количество
не
распавшегося
радия
в
этот
момент
времени
.
Найдём
постоянную
величину
C
при
начальных
данных
:
при
,
0
=
t
.
o
RR
=
Подставив
эти
значения
в
уравнение
kt
R Ce
−
=
,
получим
:
,
0⋅−
=
k
o
CeR .
0
RC
=
Тогда
искомая
функция
будет
.
0
kt
eRR
−
=

Страницы