Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

45
1.3.5. Вращающийся
в
жидкости
диск
замедляет
свою
угловую
скорость
за
счет
трения
.
Установлено
,
что
трение
пропорционально
угло
-
вой
скорости
.
Найти
: 1)
с
какой
скоростью
будет
вращаться
диск
в
момент
120
=
t
с
если
при
0
=
t
он
вращался
со
скоростью
12
рад
/
с
,
а
при
10
=
t
с
его
скорость
была
8
рад
/
с
; 2)
в
какой
момент
времени
он
будет
вращаться
со
скоростью
1
рад
/
с
?
Решение
.
Составим
функцию
закона
вращения
диска
как
функцию
времени
.
Пусть
ω
–
угловая
скорость
вращения
диска
,
тогда
замедле
-
ние
вращения
диска
под
воздействием
сил
трения
будет
.
dt
d
ω
По
усло
-
вию
задачи
имеем
,
ω
ω
k
dt
d
=
где
k
–
коэффициент
пропорциональности
.
Разделив
переменные
,
получим
: .kdt
d
=
ω
ω
Интегрируем
обе
части
урав
-
нения
∫ ∫
= ,dtk
d
ω
ω
,
ln
C
kt
+
=
ω
откуда
,
Ckt
e
+
=
ω
,
Ckt
ee=
ω
1
Ce
kt
=
ω
или
.
1
kt
eC=
ω
Найдём
постоянную
величину
1
C
при
начальных
условиях
:
0
=
t
и
12
=
ω
рад
/
с
.
Подставив
эти
значения
в
уравнение
1
kt
C e
ω
= ,
найдём
:
1
C
,12
0
1
⋅
=
k
eC .12
1
C
=
Подставив
значение
1
C
в
уравнение
1
kt
C e
ω
= ,
полу
-
чим
:
12 .
kt
e
ω
=
Найдём
числовое
значение
k
по
начальным
данным
:
10
=
t
с
и
8
=
ω
рад
/
с
.
Подставим
эти
значения
в
уравнение
12
kt
e
ω
=
:
,128
10⋅
=
k
e
откуда
,
3
2
10
=
k
e
,
3
lg
2
lg
lg
10
−
=
e
k
.0407,0
4343,010
3010,04771,0
lg10
2lg3lg
lg10
3lg2lg
−=
⋅
−
−=
−
−=
−
=
ee
k

Страницы