Двойной интеграл. Гиль Л.Б - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

10
γ
Р
ис
. 5
σ
d
γ
x
z
ds
плоскости
0
z
=
,
так
что
площадь
поверхности
S
определится
двойным
интегралом
( ) ( )
2 2
1
cos
D D
d
S z x z y dxdy
σ
γ
= = + ∂ ∂ + ∂ ∂
∫∫ ∫∫
. (15)
Если
поверхность
описывается
уравнениями
( , )
x y z
ϕ
=
,
( , )
y x z
ψ
=
,
то
формулы
для
вычисления
её
площади
принимают
вид
( ) ( )
2 2
1
D
S x y x z dydz
′
= + ∂ ∂ + ∂ ∂
∫∫
, (16)
( ) ( )
2 2
1
D
S y x y z dxdz
′′
= + ∂ ∂ + ∂ ∂
∫∫
, (17)
где
D
′
и
D
′′
соответственно
,
области
в
плоскостях
Oyz
и
Oxz
,
в
которые
проектируется
поверхность
S
.
5.2. Физические приложения двойного интеграла
Пусть
D
бесконечно
тонкая
пластинка
в
плоскости
0
z
=
и
пусть
по
пластинке
распределена
масса
с
поверхностной
плотностью
( , )
x y
γ ρ
=
.
• Масса пластинки
.
Величина
( , )
dm x y dxdy
ρ
=
численно
равна
массе
элемента
площади
пластинки
,
расположенного
возле
точки
с
координатами
( , )
x y
.
Будем
называть
её
элементом
массы
пластинки
.
Чтобы
получить
массу
всей
пластинки
,
элемент
массы
следует
проинтегрировать
по
области
D
,
занимаемой
пластинкой
,
т
.
е
.:
D
m dm
=
∫∫
,
или
( , )
D
m x y dx dy
ρ
=
∫∫
; (18)

Страницы