Двойной интеграл. Гиль Л.Б - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12
6. ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ
6.1. Двойной
интеграл
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
свести
к
двукратному
и
расставить
пределы
.
Область
D
ограничена
линиями
:
1,
x
=
2
y x
,
2 ( 1)
y x x
= ≤
.
Решение
.
Область
D
показана
на
рис
. 6.
Задачу
решим
двумя
способами
,
выбирая
в
качестве
переменной
внешнего
интеграла
вначале
переменную
x
,
а
затем
переменную
y
.
1.
Проектируя
область
D
на
ось
Ox,
находим
пределы
изменения
переменных
интегрирования
0 1,
x
≤ ≤
2
2
x y x
≤ ≤
и
,
в
соответствии
с
формулой
(6),
получаем
2
1 2
0
( , ) ( , )
x
D
x
f x y dxdy dx f x y dy
=
∫∫ ∫ ∫
.
2.
Теперь
проектируем
область
D
на
ось
Oy.
С
этой
целью
уравнения
линий
,
ограничивающих
область
D
,
перепишем
используя
y
как
независимую
переменную
,
то
есть
в
виде
:
x y
=
,
2
x y
=
,
1
x
=
,
и
найдём
ординаты
точек
пересечения
линий
x y
=
,
2
x y
=
,
и
1
x
=
,
2
x y
=
.
Решив
соответствующие
системы
алгебраических
уравнений
,
находим
,
что
переменная
y
изменяется
в
пределах
0 2
y
≤ ≤
.
Но
поскольку
область
D
сверху
ограничена
разными
линиями
,
отрезок
интегрирования
следует
разбить
на
две
части
,
найдя
ординату
точки
1
x
=
Рис. 6
x
2
xy =
x
1
x
=
x
2
y
=
y

Страницы