Двойной интеграл. Гиль Л.Б - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9
плоскости
0
z
=
проектируется
тело
,
то
,
в
соответствии
с
геометрическим
смыслом
определённого
интеграла
,
его
объём
равен
( , )
D
V f x y dxdy
=
∫∫
.
(12)
Обобщение
на
случай
,
когда
цилиндрическое
тело
ограничено
снизу
и
сверху
поверхностями
,
описываемыми
,
соответственно
,
уравнениями
1
( , )
z f x y
и
2
( , )
z f x y
=
(
)
2 1
( , ) ( , )
D
V f x y f x y dxdy
= −
∫∫
.
(13)
в) вычисление площади поверхности
Пусть
некоторая
поверхность
S
описывается
уравнением
( , )
z f x y
=
и
проектируется
в
замкнутую
ограниченную
область
D
в
плоскости
0
z
=
(
рис
. 5).
Пусть
ds
элемент
площади
на
поверхности
,
расположенный
возле
точки
с
координатами
(
)
, , ( , )
x y f x y
и
d dxdy
его
проекция
в
области
D
.
Бесконечно
малый
элемент
площади
поверхности
ds
можно
рассматривать
как
расположенный
в
касательной
плоскости
к
поверхности
в
упомянутой
точке
.
Если
γ
острый
угол
между
касательной
плоскостью
и
плоскостью
0
z
=
(
рис
. 5),
то
оба
элемента
связаны
между
собой
известным
из
элементарной
геометрии
соотношением
:
cos
ds d
σ γ
=
.
Угол
γ
,
в
тоже
время
,
является
углом
между
осью
oz
и
вектором
нормали
касательной
плоскости
,
поэтому
его
косинус
совпадает
с
направляющим
косинусом
угла
γ
вектора
нормали
и
,
соответственно
,
равен
( ) ( )
2 2
cos 1 1
z x z y
γ
= + ∂ ∂ + ∂ ∂
. (14)
Это
позволяет
свести
интегрирование
элемента
площади
ds
по
поверхности
S
к
интегрированию
величины
cos
d
σ γ
по
области
D
в

Страницы