Двойной интеграл. Гиль Л.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
1)
вычисление
двойного
интеграла
в
декартовой
системе
координат
:
D
:
1
( )
y x
ϕ
=
,
2
( )
y x
ϕ
=
,
[
1 2
( ) ( )
ϕ ϕ
<
],
x a
=
,
x b
=
,[
a b
<
]
Рис. 2
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
x
b
D a x
f x y dxdy dx f x y dy
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
(6)
D
:
1
( )
x y
ψ
=
,
2
( )
x y
ψ
=
,
[
1 2
( ) ( )
y y
ψ ψ
<
],
y c
=
,
y d
=
,[
c d
<
]
Рис. 3
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
x
d
D c x
f x y dxdy dy f x y dx
ψ
ψ
=
∫∫ ∫ ∫
(7)
2)
замена
переменных
в
двойном
интеграле
:
( , ),
( , ),
x x u v
y y u v
=
=
*
D D
↔
⇒
*
*
( , ) ( , )
D
D
f x y dxdy f u v J dudv
=
∫∫ ∫∫
,
u v
u v
x x
J
y y
′ ′
=
′ ′
−
якобиан
3)
вычисление
двойного
интеграла
в
полярной
системе
координат
:
D
:
1
( )
r r
ϕ
=
,
2
( )
r r
ϕ
=
,
[
1 2
( ) ( )
r r
<
],
,
ϕ α ϕ β
= =
, [
α β
<
]
Рис. 4
*
( , ) ( cos , sin )
D
D
f x y dxdy f r r rdrd
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫ ∫∫
=
=
2
1
( )
( )
( cos , sin )
r
r
d f r r rdr
ϕ
β
α ϕ
ϕ ϕ ϕ
∫ ∫
(8)
x
c
d
ψ
1
(
x
ψ
2
(x)
О
y
x
y
(
)
1
x
ϕ
a
(
)
2
x
ϕ
b
О
x
α
β
r
1
(
φ
)
r
2
(φ)
О
y
D
D
D

Страницы