ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8
5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
5.1. Геометрические приложения двойного интеграла
а)
вычисление площадей замкнутых плоских фигур
Пусть
D
область
в
плоскости
переменных
xy
,
ограниченная
линиями
1 2
, , ( ), ( )
x a x b y x y x
ϕ ϕ
= = = =
.
В
декартовых
координатах
элемент
площади
равен
ds dxdy
=
.
Интегрируя
его
по
области
D
получим
её
площадь
S
,
т
.
е
.:
D
S dxdy
=
∫∫
. (9)
Учитывая
,
что
область
D
при
этом
описывается
неравенствами
1 2
( ) ( )
a x b
x y x
ϕ ϕ
≤ ≤
≤ ≤
,
находим
:
( )
2
1
( )
2 1
( )
( ) ( )
x
b b
D a x a
S dxdy dx dy x x dx
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
= = = −
∫∫ ∫ ∫ ∫
. (10)
После
вычисления
внутреннего
интеграла
для
площади
области
D
получаем
её
представление
определенным
интегралом
Если
область
D
задана
в
полярных
координатах
неравенствами
1 2
( ) ( )
r r r
α ϕ β
ϕ ϕ
≤ ≤
≤ ≤
,
замена
переменных
в
формуле
(9)
даёт
:
( )
2
1
( )
2 2
2 1
( )
1
( ) ( )
2
r
D r
S dxdy d rdr r r d
ϕ
β β
α ϕ α
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = = −
∫∫ ∫ ∫ ∫
. (11)
б)
вычисление объёма цилиндрического тела
Если
цилиндрическое
тело
ограничено
снизу
плоскостью
0
z
=
,
сверху
поверхностью
( , )
z f x y
=
и
с
боков
цилиндрической
поверхностью
с
образующими
параллельными
оси
Oz
,
и
с
направляющей
,
совпадающей
с
границей
области
D
,
в
которую
на
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
