Двойной интеграл. Гиль Л.Б - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15
Итак
,
система
неравенств
,
описывающая
область
D
в
рассматриваемом
случае
имеет
вид
:
2 2
0 1 1 2
2 2 2 2
y y
y x y y x
≤ < ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
∪
,
и
мы
получаем
2 2
2
1 2 2
0 1
2 2
( , ) ( , ) .
y
y y
I dy f x y dx dy f x y dy
= +
∫ ∫ ∫ ∫
6.4.
Вычислить
двойной
интеграл
)
2 2
D
I x y dxdy
= +
∫∫
по
области
D
,
ограниченной
окружностью
2 2
2
x y x
+ =
.
Решение
.
Область
D
показана
на
рис
. 9.
Для
вычисления
интеграла
воспользуемся
полярными
координатами
.
В
этих
координатах
уравнение
окружности
принимает
вид
2cos
ρ ϕ
=
.
Так
как
окружность
проходит
через
начало
координат
,
пределы
интегрирования
по
углу
ϕ
находим
из
условия
0
ρ
=
.
Это
ведет
к
уравнению
cos 0
ϕ
=
,
решив
которое
находим
:
2 2
π ϕ π
− ≤ ≤
.
Если
ϕ
–
произвольный
,
но
фиксированный
угол
из
этого
отрезка
,
то
0 2cos
ρ ϕ
≤ ≤
.
Полученные
неравенства
описывают
область
Ω
в
плоскости
переменных
,
ρ ϕ
,
( , ): , 0 2cos
2 2
π π
ρ ϕ ϕ ρ ϕ
Ω = − ≤ ≤ ≤ ≤
,
в
которую
преобразуется
область
D
.
Используя
формулу
(8),
получаем
:
y
ϕ
ρ
cos
2
=
4
ρ
x
ϕ
Рис. 9

Страницы