Двойной интеграл. Гиль Л.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17
её
четвертой
части
,
расположенной
в
первом
квадранте
и
изображённой
на
рис
. 11.
Так
как
поверхность
проектируется
на
плоскость
0
z
=
,
то
её
площадь
следует
вычислять
по
формуле
(15).
Уравнение
рассматриваемой
части
поверхности
2
4
z x y
= −
,
частные
производные
,
требуемые
в
формуле
(15),
равны
2
2
4
z
x
x y
=
∂
−
,
2
4
z y
y
x y
= −
∂
−
,
и
подынтегральная
функция
принимает
вид
( ) ( )
2
2 2
2 2
4 1
1 1 2
4 4
y x
z x z y
x y x y
+ +
+ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + =
− −
.
Подставляя
её
в
интеграл
,
получаем
2
1
4 2
4
D
x
S dxdy
x y
+
=
−
∫∫
,
где
область
:
{
}
( , ):0 2, 0 2
D x y x y x
= ≤ ≤ ≤ ≤ .
Интегрирование даёт:
2 2
2
2
0 0
1
8 8 1
4
4
x
D
x dy
S x dx
x y
x y
+
= = + =
−
−
∫∫ ∫ ∫
2
2 2
0
0 0
1 arcsin 8 1
4
2
x
y
x dx x dx
x
π
= + = + =
∫ ∫
( )
( )
2
3 2
0
4 4
1 3 3 1
3 3
x
π π
= + = −
.
6.7. Вычислить статические моменты
однородной пластинки относительно
координатных осей. Пластинка ограничена
линиями
2 2
1,
9 4
x y
+ =
2 3 6 0
x y
+ − =
.
Рис
. 12
2
2
3
y x
= − +
2
2
9
3
y x
= −
(0,2)
y
x
(3,0)

Страницы