Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17
( ),
( ).
x x t
y y t
=
=
[ ; ]
t
α β
∈
,
где
x t
и
( )
y t
−
непрерывные
функции
с
непрерывными
производными
и
( )
x a
α
=
,
( )
x b
β
=
,
то
длина
l
кривой
AB
находится
по
формуле
2 2
( ( )) ( ( ))
l x t y t dt
β
α
′ ′
= +
∫
. [5]
Формула
[5]
может
быть
получена
из
формулы
[4]
подстановкой
( )
x x t
=
,
( )
dx x t dt
′
=
,
( )
( )
( )
y t
f x
x t
′
′
=
′
Если кривая
AB
задана уравнением в полярных координатах
( )
r r
=
,
α ϕ β
< <
. Предположим, что
( )
r
и
( )
r
ϕ
′
непрерывны на
отрезке
[ ; ]
α β
и если в равенствах
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
, связывающих
полярные и декартовы координаты, параметром считать угол
ϕ
, то
кривую
AB
можно задать параметрически
( )cos ,
( )sin
x r
y r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
=
.
Тогда
( )cos ( )sin ,
( )sin ( )cos
x r r
y r r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
′ ′
= −
′ ′
= +
.
Поэтому
2 2 2 2
( ) ( ) ...... ( ( )) ( ( ) .
x y r r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
′ ′ ′
+ = +
Применяя
формулу
[5],
получаем
2 2
l r r d
β
α
ϕ
′
= +
∫
.

Страницы