Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25
Отсюда
находим
2
1
,
3
t
x
−
=
2
3
dx tdt
=
и
новые
пределы
интеграла
:
1
1
=
при
1
0,
x
=
2
4,
t
=
при
2
5
x
=
.
Подставляя
,
получим
:
( )
5 4
3
2 4
1
0 1
2 2 2 64 1
1 | 4 1 4.
9 9 3 9 3
1 3
xdx t
t d t
x
−
= − = − = − + =
+
∫ ∫
2)
Полагая
,
x
e t
=
имеем
ln ,
x t
=
;
dt
dx
t
=
1
2
t
=
при
1
ln 2;
x
=
2
3
t
=
при
2
ln3
x
=
и
ln3 3 3
3
2
1 2
ln 2 2 2
1 1 1 2 1 ln1,5
ln | ln ln
( ) 1 2 1 2 4 3 2
x x
dx dt dt t
e e t t t t t
− −
−
= = = = − =
− − − +
∫ ∫ ∫
.
3)
Полагая
2sin ,
x t
=
получим
:
2cos ;
dx t dt
=
1
6
t
π
=
при
1
1;
x
=
2
3
t
π
=
при
2
3;
x =
3
3 3
3 3 3
2 2
2 2
1
6 6 6
3
6
( 1) 8sin 1 1
2 sin
4sin 4 sin
4
1 1 3 1 3 7
2cos | 2 3 1.
4 2 2 4 3
2 3
x dx t dt
dt t dt
t t
x x
t ctg t
π π π
π π π
π
π
+ +
= = + =
−
= − − = − − − − = −
∫ ∫ ∫ ∫
4) Заменяя переменную при помощи подстановки
,
2
x
tg z
=
найдём
2
2
1
cos ;
1
z
x
z
−
=
+
2
2
;
1
dz
dx
z
=
+
1
0
z
=
при
1
0;
x
=
2
1
z
=
при
2
2
x
π
=
и
1
2
1
0
2
0 0
2 2
2 |
2 cos 3 6
3 3 3 3 3
dx dz z
arctg
x z
π
π π
= = = ⋅ =
+ +
∫ ∫
.
7.3. Найти площадь фигуры, ограниченной осью
Ox
и графиком
функции
2
2
y x x
= −
при
[0;3]
x
∈
.
Решение. Графиком функции
2
2
y x x
= −
является парабола,
поэтому фигура имеет вид, изображённый на рисунке 14.

Страницы