Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28
/ 6 / 6
2 2
0 0
1 1 1 1
( cos3 ) (1 cos6 )
6 2 2 2
S a d a d
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = + =
∫ ∫
)
2 2 2
/ 6 / 6
0 0
1
( sin6 ) ( 0
4 6 4 6 24
a a a
π π
π π
ϕ ϕ
= + = + = .
2 2
6
a a
S
π π
= ⋅ = .
7.7. Найти длину окружности радиуса
R
.
Решение. Найдём
1/ 4
часть её длины от точки
(0; )
R
до точки
( ;0)
R
. Так как уравнение окружности в декартовой системе координат
2 2
y R x
= −
, то
2
0
2 2
0
1
1 arcsin
4 2
R
R
x x
l dx R R
R
R x
π
= + = = ⋅
−
∫
.
Длина окружности
4 2
2
l R R
π
π
= ⋅ ⋅ =
.
Если уравнение окружности записать в параметрическом виде
cos
x R t
=
,
sin
y R t
=
, то
2
2 2 2
0
0
( sin ) ( cos ) 2
l R t R t dt Rt R
π
π
π
= − + = =
∫
.
7.8. Найти длину кардиоиды
(1 cos )
r a
ϕ
= +
.
Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси
(рис.18).
Рис. 18
Найдём половину длины кардиоиды
2 2
0 0
1
( (1 cos )) ( ( sin )) 2 2cos
2
l a a d a d
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + − = + =
∫ ∫

Страницы