Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32
Решение. 1)
Построив
параболу
2
2
y px
=
и
прямую
x a
=
,
получим
параболический
сегмент
OAB
,
рис
.23.
При
вращении
его
вокруг
оси
образуется
сегмент
параболоида
вращения
.
Объём
этого
тела
,
согласно
общим
указаниям
,
найдём
по
формуле
:
2
1
2 2 2
0
0
2 | .
x
a
a
x
π π π π
= = = =
∫ ∫
7.14. Вычислить
длину
дуги
1)
полукубической
параболы
2 3
( 1)
y x
= −
между
точками
(
)
2; 1
A
−
и
(
)
5; 8 .
B
−
Решение.
Разрешаем
данное
уравнение
относительно
y
и
найдём
y
′
:
3
2
( 1)
y x
= ± −
,
1
2
3
' ( 1)
2
y x
= ± −
. (
Знаки
±
в
выражении
y
указывают
,
что
кривая
симметрична
оси
Ox
;
точки
A
и
B
,
имеющие
отрицательные
ординаты
,
лежат
на
той
ветви
кривой
,
которая
расположена
ниже
оси
Ox
.)
( )
( )
5
2
'
2
9
1 1 1
4
B
A
x
AB
x
L y dx x dx
= + = + − =
∫ ∫
5 5
1 3
5
2 2
2
2 2
1 1 1
9 5 ( 9 5) (9 5) (9 5) | »7,63
2 18 27
x dx x d x x= − = − − = −
∫ ∫
.
7.15. Найти
площадь
поверхности
шара
радиуса
R
.
Решение.
Можно
считать
,
что
поверхность
шара
образована
вращением
полуокружности
2 2
y R x
= −
,
R x R
− ≤ ≤
вокруг
оси
Ox
.
По
формуле
2
2 1 ( )
b
x
a
S y y dx
π
′
= ⋅ +
∫
,
где
( ) 0
y f x
= ≥
–
кривая
,
вращающаяся
вокруг
оси
Ox
,
находим
2
2 2 2 2 2
2 2
2 1 2
R R
R R
x
S R x dx R x x dx
R x
π π
− −
−
= − ⋅ + = − + =
−
∫ ∫
2
2 4
R
R
R x R
π π
−
= ⋅ = .

Страницы