Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

35
При
увеличении
x
на
величину
dx
объем
v
слоя
масла
увеличится
на
величину
2
v R dx
π
∆ =
,
его
вес
p
увеличится
на
величину
2
π
=
△
,
а
затраченная
работа
q
увеличится
на
величину
2
q R xdx dq
πδ
∆ ≈ =
.
Всю
искомую
работу
Q
получим
при
изменении
x
от
0
до
H.
Поэтому
( )
( )
2 2 2
2 2
0
0
| 64800 64800*9.81
2 2
635688 .
H
H
x R H
Q R xdx R
дж
дж
πδ
πδ πδ π π
π
= = = ≈ ≈
≈
∫
7.20.
Найти
следующие
несобственные
интегралы
:
1)
0
;
x
e dx
+∞
−
∫
2)
2
;
1
dx
x
−∞
+∞
+
∫
3)
1
0
;
dx
x
∫
4)
2
1
2
3
.
( 1)
dx
x
−
−
∫
Решение.
1)
( ) ( )
0
0
00
lim lim | lim e e 1.
x x x
e dx e dx e
β
β β
β
+∞
− − − −
→+∞
= = − = − =
∫ ∫
Следовательно
,
данный
несобственный
интеграл
сходится
.
Геометрически
,
в
прямоугольной
системе
координат
,
всякий
определённый
интеграл
( )
a
b
f x dx
∫
даёт
алгебраическую
сумму
площадей
,
ограниченных
кривой
( )
y f x
=
,
двумя
вертикальными
прямыми
x a
=
,
x b
=
и
осью
Ox
.
Поэтому
,
построив
кривую
x
y e
−
=
и
её
ординаты
в
точках
0
x
=
и
x
β
=
(
рис
. 26),
получим
криволинейную
трапецию
0
AB
β
,
площадь
которой
( )
0
1 .
x
S e dx e
β
β
β
− −
= = −
∫
При
β
→ ∞
получим
трапецию
с
бесконечным
основанием
,
которая
имеет
конечную
площадь
( ) lim ( ) 1
S S
β
β
→∞
= ∞ = =
.
Рис. 26

Страницы