Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36
1)
Пользуясь
определением
,
получим
( ) ( )
0
0
0
2 2 2
0
lim lim lim | lim |
1 1 1
.
2 2
dx dx dx
arctg x arctgx
x x x
arctg arctg
β
β
α
α β
α
π π
π
+∞
→−∞ →+
−
∞
∞
= + = +
+ + +
= − −∞ + +∞ = − − + =
=
∫ ∫ ∫
Рис. 27
Геометрически
(
рис
. 27)
интеграл
от
функции
( )
2
1
1
f x
x
=
+
в
пределах
от
до
β
выражает
площадь
криволинейной
трапеции
AB
α β
,
а
данный
несобственный
сходящийся
интеграл
выражает
площадь
бесконечной
криволинейной
трапеции
,
которая
неограниченно
простирается
влево
и
вправо
и
вместе
с
тем
имеет
конечную
величину
π
.
3)
Здесь
при
0
x
=
подынтегральная
функция
1
x
имеет
бесконечный
разрыв
.
Согласно
определению
( )
1 1
1
0
0
lim limln | lim ln1 ln ln0 ,
dx dx
x
x x
ε
ε
ε
ε
→+
= = = − = − = +∞
∫ ∫
т
.
е
.
этот
несобственный
интеграл
расходится
.
Геометрически
(
рис
.28)
полученный
результат
указывает
,
что
площадь
криволинейной
трапеции
AB
ε β
( )
1
ln
dx
S
x
ε
ε ε
= = −
∫
При
0
ε
→ +
неограниченно
возрастает
.

Страницы