ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
Следовательно
,
решение
этой
задачи
показывает
:
если
число
сла
-
гаемых
бесконечно
малых
неограниченно
возрастает
,
их
сумма
может
оказаться
любой
величиной
.
1.5.7. Доказать
,
что
lim 0
!
n
n
x
n
→+∞
=
при
любом
значении
x
.
Решение.
Каково
бы
не
было
значение
x
,
всегда
найдутся
такие
два
последовательных
целых
положительных
числа
k
и
1
k
+
,
между
которыми
заключается
x
,
т
.
е
.
1
k x k
< < +
.
Исходя
из
этого
,
получим
очевидное
неравенство
:
... .
! ! 1 2 3 ! 1
n k
n k k
x x x x x x x x
n k k k k n k k
−
= ⋅ ⋅ ⋅ < ⋅
+ + + +
Первый
множитель
1
!
k
x
M
k
=
не
зависит
от
n
и
при
любом
данном
значении
x
является
постоянным
,
второй
множитель
2
!
n k
x
M
k
−
=
+
при
n
→ +∞
будет
величиной
бесконечно
малой
,
ибо
1
1
x
k
<
+
.
Поэтому
1 2
,
M M
,
как
произведение
постоянной
величины
на
бесконечно
малую
,
есть
величина
бесконечно
малая
.
Вследствие
этого
функция
!
n
x
n
также
будет
величиной
бесконечно
малой
,
т
.
е
.
lim 0
!
n
n
x
n
→+∞
=
при
любом
значении
x
.
1.5.8. Показать
,
что
элементарные
функции
: 1)
2
2 1
y x
= −
;
2)
cos
ec x
υ
=
непрерывны
во
всей
своей
области
определения
.
Решение. Найдем
область
определения
функции
и
затем
убедим
-
ся
,
исходя
из
определения
непрерывности
,
что
функция
будет
непре
-
рывна
в
этой
же
области
.
1)
Областью
определения
функции
y
является
вся
числовая
ось
.
Далее
,
придадим
аргументу
x
произвольное
приращение
x
∆
и
,
подста
-
вив
в
данное
выражение
функции
вместо
x
наращенное
значение
x x
+ ∆
,
найдем
наращенное
значение
функции
:
2
2( ) 1.
y y x x
+ ∆ = + ∆ −
Вычитая
из
этого
наращенного
значения
функции
ее
первоначальное
значение
,
найдем
приращение
функции
:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
