ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40
(
)
(
)
2
2 3
2 1 2 1 4 2 .
y x x x x x x
∆ = + ∆ − − − = ⋅ ∆ + ∆
Пусть
теперь
0
x
∆ →
.
Тогда
0
lim 0
x
x
∆ →
∆ =
при
любом
значении
x
.
Следовательно
,
согласно
определению
непрерывности
,
функция
y
бу
-
дет
непрерывна
при
любом
значении
x
,
т
.
е
.
во
всей
своей
области
опре
-
деления
.
2)
Тригонометрическая
функция
cosec x
определена
на
всей
чи
-
словой
оси
,
за
исключением
точек
x k
π
=
,
0
k
=
,
1
±
,
2
±
,
Повторяя
ука
-
занные
выше
рассуждения
,
найдем
приращение
функции
υ
∆
и
затем
его
предел
при
0
x
∆ →
:
( )
( )
(
)
( )
sin sin
1 1
sin sin sin sin
x x x
cosec x x cosecx
x x x x x x
υ
− + ∆
∆ = + ∆ − = − = =
+ ∆ + ∆
( )
2cos sin
2 2
sin sin
x x
x
x x x
∆ ∆
+ −
=
+ ∆
;
( )
3
0 0 0
2cos
2cos
2
lim lim lim sin 0 0
sin sin 2 sin
x x x
x
x
x x
x x x x
υ
∆ → ∆ → ∆ →
∆
+
∆
∆ = ⋅ − = ⋅ =
+ ∆
.
При всех значениях
x
, кроме
x k
π
=
,
0
k
=
,
1
±
,
2
±
, …
Следовательно, область непрерывности и область определения эле-
ментарной функции
cosec x
полностью совпадают.
1.5.9. Найти точки разрыва функций, если они существуют, и ска-
чок функции в каждой точке разрыва:
1)
( )
1
2
1
4
f x
x
=
−
;
Решение. Функция
(
)
1
f x
определена, т.е. может быть вычислена
при всех значениях
x
, кроме
2
x
= ±
. Эта функция элементарная, поэто-
му она непрерывна во всей области своего определения:
2
x
−∞ < < −
,
2 2
x
− < <
,
2
x
< < +∞
. Она не определена в точках
1
2
x
= −
и
2
2
x
=
, но
определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдения
1-
го условия непрерывности, данная функция в точках
1
x
и
2
x
имеет
разрывы.
Для определения скачка функции в найденных ее точках разрыва
вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргу-
мента
x
к точкам разрыва слева и справа: а)
2
2 0
1
lim
4
x
x
→− −
= +∞
−
,
так как
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
