ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
74
Если информацию об интервалах возрастания и убывания функции,
наличия точек экстремума мы получаем из ее первой производной, то
информацию об интервалах выпуклости, вогнутости и точках перегиба
можно получить только из второй производной функции.
Достаточные условия выпуклости и вогнутости
Пусть
функция
( )
y f x
=
− дважды дифференцируема в интервале
[
]
;
a b
,тогда:
а) если вторая производная функция
(
)
[
]
0 ;
y x x a b
′′
< ∀ ∈
, то линия,
являющаяся графиком функции
( )
y f x
=
, выпуклая в данном интервале;
б) если вторая производная функции
(
)
[
]
0 ;
y x x a b
′′
> ∀ ∈
, то линия,
являющаяся графиком функции
( )
y f x
=
, вогнута в данном интервале.
Условия существования точек перегиба
Для
того чтобы точка с абсциссой
0
x
являлась точкой перегиба
графика функции
( )
y f x
=
:
необходимо, чтобы вторая производная функции в этой точке
(
)
(
)
0 0
0,y x y x
′′ ′′
= = ∞
, либо
(
)
0
y x
′′
не существовала;
достаточно, чтобы вторая производная функция при переходе
через эту точку меняла свой знак.
Схема нахождения точек перегиба
1) Находим область определения функции
(
)
D y
.
2)
Находим первую и следом вторую производные функции и из
условий
(
)
0
y x 0
′′
=
,
(
)
0
y x
′′
= ∞
,
(
)
0
y x
′′
не существует, определяем
абсциссы точек возможного перегиба.
3)
Наносим абсциссы полученных точек и точек разрыва функции
(
если они есть) на числовую ось и определяем знак второй производной
в окрестностях каждой из этих точек.
4) По смене знака второй производной делаем вывод о наличии или
отсутствии перегиба в отмеченных точках.
5) Вычисляем значения функции в отмеченных точках.
Замечание 1. Параллельно отысканию точек перегиба по знаку
второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости
кривой
( )
y f x
=
.
Замечание 2. Точки, в которых функция терпит разрыв, или
граничные точки области определения не могут являться точками
перегиба.
f
′′
− +
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
