Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

77
Решение.
а)
функцию
можно
представить
в
виде
4
y u
=
,
где
5
u x
= +
.
Поэтому на основании 4 правила дифференцирования
( ) ( )
(
)
3
3
3
4 4 5 5
2
x
y u u x x
x
+
′
′ ′
= ⋅ = + ⋅ + = ;
б) данная функция является композицией трех имеющих
производные функций
sin
u v
=
==
=
,
(
)
2
f u u
=
,
3
v x
=
==
=
, с учетом правила
дифференцирования сложной функции получим:
( )
2
2 2sin3 cos3 3 3sin6
y u u u v x x x
′
′ ′ ′
= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
;
в) функцию можно представить в виде
ln
y u
=
, где
u arctg v
=
,
5
v x
=
, получим:
( )
( )
( )
2
2
1 1 1 5
ln 5
5
1 25 5
1 5
y u u v
u arctg x
x arctg x
x
′
′ ′ ′
= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
+
+
;
г) прологарифмируем по основанию e обе части уравнения:
2 cos3 2
ln ln(sin ) cos3 lnsin 2cos3 lnsin
x
y x x x x x
= = = ,
продифференцируем обе части полученного равенства:
( ) ( )
2 cos3 lnsin cos3 lnsin
y
x x x x
y
′
′ ′
= +
=
=2
1
3sin3 lnsin cos3 cos
sin
x x x x
x
− +
;
заменим y его выражением через x и определим
′
y
:
2
cos3 lnsin 2
2
2sin cos
3sin3 lnsin cos3
sin
⋅
′
= ⋅ − ⋅ + ⋅ =
x x
x x
y e x x x
x
(
)
(
)
cos3
2 2
sin 3sin3 lnsin 2cos3 .
= ⋅ − + ⋅
x
x x x x ctgx
2.6.3. Найти производную функции
y
, заданной уравнением
2
ln 2
x xy y
− + =
− + =− + =
− + =
, и вычислить её значение в точке
(
)
2;1
.
Решение.
Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что
y
есть
функция от
x
, получим
2 0
y
x y xy
y
′
′′
′
′
′′
′
− − + =
− − + =− − + =
− − + =
, откуда
2
2
1
xy y
y
xy
−
−−
−
′
′′
′
=
==
=
−
−−
−
.

Страницы