Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

78
2.6.4. Найти
2
2
d y
dx
от
следующих
функций
:
а
)
(
)
2
1 ;
y x arctgx
= +
в
)
(
)
2
y x x
= + +
б
)
2
1 arcsin ;
y x x
= −
г
)
.
x
y e
=
Решение.
а)
2
2
1
2 arctg 2 arctg 1
1
+
′
= ⋅ + = +
+
x
y ( x ) x x x x ,
x
2
2
( ) 2arctg ;
1
′′
= +
+
x
y x x
x
б)
2
2 2 2
2 1 arcsin
( ) arcsin 1 1,
2 1 1 1
− −
′
= + − ⋅ = +
− − −
x x x
y x x x
x x x
( )
( )
2
2
2 3
2
2
3
2
1
( ) arcsin
1
1
1
arcsin
;
1
1
′′
= − − − =
−
−
−
= − −
−
−
x x
y x x
x
x
x
x x
x
x
в)
(
)
2
2
2 2
1
1
9
ln 9 ,
9 9
+
′
+
′
= + + = =
+ + +
x
x
y x x
x x x
( ) ( )
(
)
1/ 2 3/ 2
2 2
3
2
1
( ) 9 9 2 ;
2
9
− −
′
′′
= + = − + ⋅ = −
+
x
y x x x x
x
г)
1
( ) ,
2
′ ′
= =
x x
y e e
x
3
1 1 1
(1 ) ( 1).
4 4
4
4
′′
= − + = − = −
x x
x x
e e
y e e x
x x
x x x
x
2.6.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
4 2
( ) 2 3
f x x x
= − +
на отрезке [-2,1].
Решение. Так как функция
f
дифференцируема на всей числовой
оси, то подозрительные на экстремум точки совпадают со
стационарными точками, которые находим из условия
3 2
1 2 3
( ) 4 4 4 ( 1): 0, 1, 1.
f x x x x x x x x
′
= − = − = = − =
Точки
1
0
=
x
и
2
1
= −
x
являются внутренними для отрезка [-2,1].
Находим
(0) 3, ( 1) 1 2 3 2
f f
= − = − + =
, затем – значения функции в

Страницы