Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

80
Пусть требуется вычислить значение функция
(
)
=
y f x
при
некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам
неизвестна, но дано его приближенное значение х
0
с абсолютной
погрешностью
0
: ,
= + ≤
x x
e x x dx dx e
. Тогда
0 0 0
− ≈ < ε
f ( x ) f ( x ) f '( x ) dx f '( x ) .
Отсюда видно, что
(
)
0
′
= ⋅
y x
e f x e
.
Относительная погрешность функции
δ
y
выражается формулой
0
0
0
(ln ( ))
ε
δ = = ε = ε
y
y x x
f '( x )
f x ' .
f ( x ) f ( x )
Например, если в примере 2.6.7 принять
0,017
x
e
=
, то
cos 0,017 0,015,
6
π
ε
= ⋅ =
у
0,015
100% 3%.
0,5
δ
= ⋅ =
y
2.6.10. Удовлетворяет
ли функция
(
)
2
3
= −
f x x
условиям
теоремы Ферма на отрезке [1, 4]?
Решение. Данная
функция условиям теоремы Ферма на отрезке
[1, 4] не удовлетворяет, так сак она монотонно убывает на этом отрезке
и, следовательно, принимает наибольшее значение при
1
=
x
и
наименьшее значение при
4
=
x
, т. е. не во внутренних точках отрезка
[
]
1,4
. Поэтому теорема Ферма здесь неприменима; иными словами,
нельзя утверждать, что
(
)
(
)
1 4 0
= =
f f . Действительно,
(
)
1 2
= −
f ,
(
)
4 8
= −
f .
2.6.11. Справедлива
ли теорема Ролля:
1) для функции
(
)
2
6 35
= + −
f x x x на отрезке [-5, -1];
2) для функции
2
3
( ) ( 4)
f x x= − на отрезке [0, 8]?
Решение.
1)
Так как функция
(
)
f x
непрерывна и дифференцируема при
всех х и ее значения на концах отрезка [-5,-1] равны, т.е.
(
)
(
)
5 1 40
− = − = −
f f , то в данном случае все условия теоремы Ролля

Страницы