Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

81
выполняются. Значение
=
x c
, при котором производная
(
)
′
f x
обращается в нуль, найдем из уравнения
(
)
6 0
′
f c c , откуда
3
= −
c
.
2)
Функция непрерывна на отрезке
[
]
0,8
, кроме того,
(
)
(
)
3
0 8 2 2
= =f f ; значит, два условия теоремы Ролля выполнены.
Однако производная
3
2
3 4
′
=
−
f ( x )
x
не существует во внутренней
точке
4
=
x
интервала (0,8) и, следовательно, третье условие теоремы
Ролля не выполняется. Таким образом, эта теорема к данной функции
неприменима. В самом деле,
(
)
0
′
≠
f x на отрезке
[
]
0,8
.
2.6.12
. На дуге АВ кривой
3
3
= −
y x x
найти точку, в которой
касательная параллельна хорде, соединяющей точки
(
)
1;2
A
−
и
(
)
3;18
B .
Решение. Функция
3
3
= −
y x x
на отрезке [-1, 3] непрерывна и
дифференцируема, поэтому она удовлетворяет условиям теоремы
Лагранжа. Запишем формулу Лагранжа применительно к данной
функции:
(
)
(3) ( 1) ( ) 3 1
′
− − = − −
f f f c , т.е.
(
)
2
18 2 3 3 4
− = − ⋅
c , откуда
1
7
3
c = − ;
2
7
.
3
c =
Очевидно, что только значение с
2
удовлетворяет условию задачи,
так как c
2
является внутренней точкой отрезка [-1, 3]. Подставив это
значение в уравнение кривой, найдем
2 7
3 3
= −y . Итак,
7 2 7
3 3 3
−
M ;
−
искомая точка.
2.6.13.
Проверить
, что функции
(
)
2
4
= +
f x x x
и
(
)
3
2
ϕ
= − −
x x x
удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1, 3], и найти
соответствующее значение с.
Решение. Функции
(
)
f x
и
(
)
ϕ
x
непрерывны при всех х, а значит,
и на отрезке [1, 3]; их производные
(
)
2 4
′
= +
f x x и
(
)
2
3 1
ϕ
′
= −
x x
существуют везде; кроме того,
(
)
ϕ
′
x
на заданном отрезке в нуль не
обращается.

Страницы