Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

82
Следовательно, к данным функциям применима теорема
Коши:
3 1
3 1
′
−
=
′
ϕ − ϕ ϕ
f ( ) f ( ) f ( c )
( ) ( ) ( c )
т.е.
2
21 5 2 4
22 2 3 1
c
;
( ) c
=
− − −
откуда находим два значения с:
1
3 93
6
−
=c
,
2
3 93
6
+
=c
.
Из полученных значений только c
2
удовлетворяет условию задачи,
так как с
1
является внутренней точкой отрезка [1, 3].
2.6.14. Найти
пределы, используя правило Лопиталя:
1)
2
4
3 2
16
lim
5 6 16
x
x
x x x
→
−
+ − −
;
Решение.
Убедившись
,
что
имеет
место
случай
0
0
или
∞
∞
,
применяем
затем
правило
Лопиталя
:
4 3
3 2 2
2 2
16 4 32 16
lim lim
5 6 16 3 10 6 26 13
x x
x x
x x x x x
→ →
−
= = =
+ − − + −
.
2)
0
lim
x
m m
n n
x a
x a
→
−
−
;
Решение.
1
1
lim lim
m m m
m n
n n n
x a x a
x a mx m
a
x a nx n
−
−
−
→ →
−
= =
−
.
3)
0
1 cos
lim
1 cos
x
ax
bx
→
−
−
;
Решение.
2 2
2 2
0 0 0
1 cos sin cos
lim lim lim
1 cos sin cos
x x x
ax a ax a ax a
bx b bx b bx b
→ → →
−
= = =
−
.
4)
lim
x
kx
n
e
x
→∞
,
где
k
>0, n –
натуральное
число
;
Решение.
( )
2
1 1
lim lim lim ... lim
1 !
kx kx kx n kx
n n n
x x x x
e ke k e k e
x nx n n x n
− −
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = = = +∞
−
.
(
Здесь
правило
Лопиталя
применено
дважды
.)
5)
2
lim
sec
x
tgx
x
π
→
;
Решение.
2
2 2 2 2
sec sec
lim lim lim lim ...
sec sec sec
x x x x
tgx x x tgx
x xtgx tgx x
π π π π
→ → → →
= = = =

Страницы