Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

83
2 2
sin cos
... lim limsin 1
cos
x x
x x
x
x
π π
→ →
= = =
.
(
Здесь
правило
Лопиталя
применено
n
раз
.)
6)
sin
lim
sin
x
x x
x x
→∞
−
+
;
Решение.
lim lim
sin 1 cos
x x
x x x
x x x
→∞ →∞
− −
=
+ +
.
Здесь
применение
правила
Лопиталя
бесполезно
,
ибо
отношение
производных
2
1 cos
1 cos 2
x x
tg
x
−
=
+
не
имеет
предела
при
x
→ ∞
.
Искомый
предел
можно
найти
так
:
1
lim lim 1
1
x x
sin x
x sin x
x
sin x
x sin x
x
→∞ →∞
−
−
= =
+
+
,
так
как
1
sin x
≤
.
7)
0
lim 2
x
xctg x
→
;
Решение.
Установив
,
что
имеет
место
случай
[
]
0
⋅∞
или
[
]
∞ − ∞
,
преобразуем
функцию
к
виду
дроби
,
числитель
и
знаменатель
которой
одновременно
стремятся
к
нулю
или
к
бесконечности
,
затем
применяем
правило
Лопиталя
:
2
0 0 0
1 1
lim 2 lim lim
2 2 2 2
x x x
x
xctg x
tg x sec x
→ → →
= = =
.
2.6.15
.
Исследовать
на
экстремум
с
помощью
второй
производной
функции
:
1)
2
( ) 2 3;
f x x x
= − −
Решение.
Находим
производную
:
( ) 2 2
f x x
′
= −
.
Решая
уравнение
( ) 0,
f x
′
=
получим
критическую
точку
1
x
=
.
Найдём
вторую
производную
:
( ) 2.
f x
′′
=
Так
как
вторая
производная
в
критической
точке
положительна
,
то
при
1
x
=
функция
имеет
минимум
:
(
)
1 4
f min f .
= = −
2)
3 2
( ) 9 24 12.
f x x x x
= − + −
Решение
.
Находим
2
( ) 3 18 24;
f x x x
′
= − +
2 2
(3 18 24 0) ( 6 8 0)
x x x x
− + = ⇔ − + = ⇔
2
4
x
x
=
=
.
Найдём
теперь

Страницы