Составители:
L
3
(x) = 1
(2)(3)(5)
3)(0 5)
x
(0 2)(0
xx
−
−−
⋅
−
−−
+3
(3)(5)
2(23)(25
xx x
)
−
−
⋅
Пусть для функции, заданной таблицей с по-
стоянным шагом, составлена таблица конечных
разностей 4.2. Будем искать интерполяционный
многочлен в виде:
−
+
−
+ 2
(2)(
3(3 2)(
xx−
⋅
−−
5)
3 5)
x−
+ 5
(2)(3)
5(5 2)(5 3)
xx x−−
⋅
−−
=
01 0 2 0 1
01
) ( )( ) ...
( ) ... ( ).
n
nn
x a x x x x
ax x x x
−
( ) (Px a ax
=
+−+− −+
+− −
(4.13)
= 1 +
62
15
x –
13
6
x
2
+
3
10
x
3
.
Это многочлен n – й степени. Значения коэффици-
ентов a
0
, a
1
, ... a
n
найдем из условия совпадения
значений исходной функции и многочлена в узлах.
Полагая х = х
0
, из (4.13) находим y
0
= P
n
(x
0
) = а
0
,
откуда а
0
= y
0
. Далее, придавая х значения x
1
и x
2
,
последовательно получаем:
Пример 4.4.
Рассмотрим пример использования интерпо-
ляционного многочлена Лагранжа для вычисления
значения заданной функции в промежуточной
точке. Эта задача возникает, например, когда зада-
ны табличные значения функции с крупным ша-
гом, а требуется составить таблицу значений с ма-
леньким шагом.
110110
(
n
axx()yPx a )
=
=+ −
откуда
Для функции y = sinx известны следующие
данные.
x
0
π/6 π/3 π/2
y
0
½
32
1
Вычислим y (0.25).
Найдем многочлен Лагранжа третьей степе-
ни:
L
3
(x) = 0
()()
63
(0 )(0
63
xxx()
2
)(0 )
6
π
ππ
π
π
−−−
⋅
−−−
75
π
+
0
1
;
y
a
h
=
+
22012022021
() ()()(),
n
yPx aaxx axxxx
=
=+ − + − −
2
200
22yyyh−−=
2
210
22yyyh−+=
то есть
+
2
a, или
2
a,
откуда
2
0
2
2
;
2
y
a
h
=
+
Далее, проведя аналогичные выкладки, можно по-
лучить
70
( x − 2)( x − 3)( x − 5) x( x − 3)( x − 5) Пусть для функции, заданной таблицей с по-
L3(x) = 1 ⋅ +3 ⋅ +
(0 − 2)(0 − 3)(0 − 5) 2(2 − 3)(2 − 5) стоянным шагом, составлена таблица конечных
x( x − 2)( x − 5) x( x − 2)( x − 3) разностей 4.2. Будем искать интерполяционный
+ 2⋅ + 5⋅ = многочлен в виде:
3(3 − 2)(3 − 5) 5(5 − 2)(5 − 3) Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + ...
62 13 2 3 3 (4.13)
=1+ x– x + x. + an ( x − x0 ) ... ( x − xn−1 ).
15 6 10
Это многочлен n – й степени. Значения коэффици-
Пример 4.4. ентов a0, a1, ... an найдем из условия совпадения
Рассмотрим пример использования интерпо- значений исходной функции и многочлена в узлах.
ляционного многочлена Лагранжа для вычисления Полагая х = х0, из (4.13) находим y0 = Pn (x0) = а0,
значения заданной функции в промежуточной откуда а0 = y0. Далее, придавая х значения x1 и x2,
точке. Эта задача возникает, например, когда зада- последовательно получаем:
ны табличные значения функции с крупным ша- y1 = Pn ( x1 ) = a0 + a1 ( x1 − x0 )
гом, а требуется составить таблицу значений с ма- откуда
леньким шагом.
Для функции y = sinx известны следующие a1 =
+ y0 ;
данные. h
y2 = Pn ( x2 ) = a0 + a1 ( x2 − x0 ) + a2 ( x2 − x0 )( x2 − x1 ),
x 0 π/6 π/3 π/2
y 0 ½ 3 2 1 то есть
y2 −+2 y0 − y0 = 2h 2 a2 , или y2 − 2 y1 + y0 = 2h 2 a2 ,
Вычислим y (0.25).
Найдем многочлен Лагранжа третьей степе- откуда
ни: y0
a2
; =
+2
( x − π )( x − π )( x − π ) 2h 2
L3(x) = 0 ⋅ 6 3 2 +
π π
(0 − )(0 − )(0 − ) π Далее, проведя аналогичные выкладки, можно по-
6 3 6 лучить
70 75
