Составители:
Имеются различные формы записи интерпо-
ляционного многочлена. Широко распространен-
ной формой записи является многочлен Лагранжа
3
0
3
3
;
3!
y
a
h
=
+
В общем случае выражение для
а
k
будет иметь
вид:
0
;
!
k
k
k
y
a
kh
=
+
(4.14)
Подставим теперь (4.14) в выражение для много-
члена (4.13):
2
00
00 01
2
0
( ) ) ( )( ) ...
2!
( ) ... (
!
n
n
n
Px y x x x x x x
y
xx xx
nh
−
=+ − + − − +
+− −
++
+
01
(
).
n
yy
hh
Практически эта формула применяется в несколь-
ко ином виде. Положим
0
t
h
xx
−
=
, то есть
0
x
x=+ht. Тогда:
10
20
1,
2
2
xx xx h
t
hh
xx xx h
t
hh
−
−−
=
=−
−−−
=
=−
69
и так далее. Окончательно имеем:
L
n
(x) =
∏∑
≠=
−
−
ij
ji
j
i
i
xx
y
1
n
xx
=
=
))...()()...((
))...()()...((
110
110
1
niiiiii
nii
n
i
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
y
−−−−
−−−−
+−
+−
=
∑
. (4.9)
В частности, для линейной и квадратичной
интерполяции по Лагранжу получим следующие
интерполяционные многочлены:
L
1
(x) = y
0
)(
10
1
xx −
)(
xx
−
+ y
1
)(
)
01
0
xx
x
−
(
x
−
,
L
2
(x) = y
0
))((
))((
2010
21
xxxx
xxxx
−−
−
−
+
y
1
))((
))((
2101
20
xxxx
xxxx
−−
−
−
+
+y
2
))((
))((
1202
10
xxxx
xxxx
−−
−
−
.
Пример 4.3.
Построим интерполяционный многочлен Ла-
гранжа по следующим данным:
x
0235
y
1325
Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла
равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа
имеет третью степень. В соответствии с (4.9)
76
y0 + 3 Имеются различные формы записи интерпо-
a3 ; = ляционного многочлена. Широко распространен-
3!h3 ной формой записи является многочлен Лагранжа
В общем случае выражение для аk будет иметь n x − xj
вид: Ln(x) = ∑y ∏ x
i =1
i
j ≠i − xj
=
i
ak =
+ k
y0
; (4.14)
n
( x − x0 )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − x n )
= ∑ yi . (4.9)
k !h k i =1 ( xi − x0 )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − x n )
Подставим теперь (4.14) в выражение для много- В частности, для линейной и квадратичной
члена (4.13): интерполяции по Лагранжу получим следующие
интерполяционные многочлены:
Pn ( x) = y0 +
+ y0 ( x − x ) + + 2
y0
( x − x0 )( x − x1 ) + ...
h
0
2!h 2 L1(x) = y0 ( x − x1 ) + y1 ( x − x0 ) ,
( x0 − x1 ) ( x1 − x0 )
+
+ n
y0
( x − x0 ) ... ( x − xn−1 ). L2(x) = y0 ( x − x1 )( x − x2 ) + y1 ( x − x0 )( x − x2 ) +
n !h n ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )
Практически эта формула применяется в несколь- +y2 ( x − x0 )( x − x1 ) .
( x 2 − x0 )( x2 − x1 )
x − x0
ко ином виде. Положим = t , то есть Пример 4.3.
h
x = x0 + ht . Тогда: Построим интерполяционный многочлен Ла-
гранжа по следующим данным:
x − x1 x − x0 − h
= = t − 1, x 0 2 3 5
h h y 1 3 2 5
x − x2 x − x0 − 2h
= =t−2 Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла
h h
равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа
и так далее. Окончательно имеем: имеет третью степень. В соответствии с (4.9)
76 69
