Введение в численные методы. Гладких О.Б - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

определена на отрезке [
a, b] и известны значения
этой функции в некоторой системе узлов
Подставляя (4.17) в (4.16) и переходя к перемен-
ной
x
n
x
t
h
−
=
, получим окончательный вид второй
x
i
∈ [a, b], i = 0, 1, … , n.
интерполяционной формулы Ньютона:
2
(1)
() ) ...
(1) ... ( 1)
tt
Px th y t y y
tt tt n
10
0
(
2!
.
!
n
nnn nn
Px
y
n
−
+
=+
+
(4.18)
4.5. Аппроксимация функций. Мето
наименьших квадратов
икает
необходи ьной
зависимости , заданными
таблично
которая позволила
бы
67
=+ + +
++−
++
+
Например, эти значения получены в эксперименте
при наблюдении некоторой величины в опреде-
ленных точках или в определенные моменты вре-
мени
x
0
, x
1
, … , x
n
. Обозначим эти значения сле-
дующим образом:
y
i
= f (x
i
), i = 0, 1, … , n.
Требуется найти такой многочлен P(x) степени m
д
P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
m
x
m
, (4.5)
который бы в узлах
x
i
, i = 0, 1, … , n принимал те
же значения, что и исходная функция
y = f (x), т. е.
В инженерной деятельности часто возн
мость описать в виде функционал
связь между величинами
P(x
i
) = y
i
, i = 0, 1, … , n. (4.6)
Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6),
называется
интерполяционным многочленом.
или в виде набора точек с координатами
(
x
i
, y
i
), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество
точек. Как правило, эти табличные данные полу-
чены экспериментально и имеют погрешности
(рис. 2.5).
При аппроксимации желательно получить
относительно простую функциональную зависи-
мость (
например, многочлен),
«сгладить» экспериментальные погрешности,
вычислять значения функции в точках, не содер-
жащихся в исходной таблице.
Рис. 4.1.
78 
Подставляя (4.17) в (4.16) и переходя к перемен-                      определена на отрезке [a, b] и известны значения
           x − xn                                                     этой функции в некоторой системе узлов
ной t =              , получим окончательный вид второй                                 xi ∈ [a, b], i = 0, 1, … , n.
               h
                                                                      Например, эти значения получены в эксперименте
интерполяционной формулы Ньютона:
                                                                      при наблюдении некоторой величины в опреде-
                                         t (t + 1) 2
Pn ( x) = Pn ( xn + th) = yn + t+ yn−1 +          + y0 + ...          ленных точках или в определенные моменты вре-
                                             2!                       мени x0, x1, … , xn. Обозначим эти значения сле-
                                                             (4.18)
  t (t + 1) ... t (t + n − 1) n                                       дующим образом:
+                            + y0.                                                   yi = f (xi), i = 0, 1, … , n.
               n!
       4.5. Аппроксимация функций. Метод                              Требуется найти такой многочлен P(x) степени m
              наименьших квадратов                                             P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + amxm, (4.5)
                                                                      который бы в узлах xi, i = 0, 1, … , n принимал те
        В инженерной деятельности часто возникает                     же значения, что и исходная функция y = f (x), т. е.
необходимость описать в виде функциональной                                    P(xi) = yi, i = 0, 1, … , n.           (4.6)
зависимости связь между величинами, заданными                         Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6),
таблично или в виде набора точек с координатами                       называется интерполяционным многочленом.
(xi, yi), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество
точек. Как правило, эти табличные данные полу-
чены экспериментально и имеют погрешности
(рис. 2.5).
        При аппроксимации желательно получить
относительно простую функциональную зависи-
мость (например, многочлен), которая позволила
бы «сгладить» экспериментальные погрешности,
вычислять значения функции в точках, не содер-
жащихся в исходной таблице.
                                                                                            Рис. 4.1.


                               78                                                              67

Страницы