Составители:
Оценим погрешность приближения функции
f(x) = x на всем отрезке в соответствии с (4.11):
max
ω
n+1
(x) = (x – x
0
)(x – x
1
)…. (x – x
n
).
Для максимальной погрешности интерполя-
ции на всем отрезке [
a, b] справедлива оценка:
[]
,
max
ab
| f(x) – L
n
(x)| ≤
)!1(
1
+
+
n
n
[]
,
max
ab
M
|
ω
n
(x)| (4.11)
Пример 4.5.
Оценим погрешность приближения функции
f(x).=.
x
в точке x.=.116 и на всем отрезке [a, b],
где
a = 100, b = 144, с помощью интерполяцион-
ного много члена Лагранжа
L
2
(x) второй степени,
построенного с узлами
x
0
= 100, x
2
= 144.
Найдем первую, вторую и третью производ-
ные функции
f(x):
f '(x)=
2
1
x
– 1/2
,
f
"(x)= –
4
1
x
–3/2
,
f '''(x)=
8
3
[]
,
ma
ab
x
–5/2
.
M
3
= | f '''(x)| = x
8
3
100
–5/2
=
8
3
10
–5
.
В соответствии с (4.9) получим оценку погрешно-
сти в точке
x = 116:
|
116 – L
2
(116)| ≤
!3
1
|(116 – 100)(116 – 121)
×
× (116 – 144)| =
16
1
73
10
–5
⋅16⋅5⋅28 = 1.4⋅10
– 3
.
[]
,ab
|
x
– L
2
(x)| ≤
≤
16
10
5−
[
,
max
ab
]
|(x – 100)(x – 121)(x –144)| ≈ 2.5⋅10
–3
.
4.4. Интерполяционные многочлены Ньютона
для равноотстоящих узлов
Часто интерполирование ведется для функ-
ций, заданных таблицами с равноотстоящими зна-
чениями аргумента. В этом случае шаг таблицы
1
( 1, 2, ...)
ii+
=− 0,hx xi=
является величиной по-
стоянной. Для таких таблиц построение интерпо-
ляционных формул (как, впрочем, и вычисление
по этим формулам) заметно упрощается.
Таблица 4.1.
x
x
0
x
1
...
x
n
f(x) y
0
y
1
...
y
n
Пусть функция задана таблицей вида (4.1) с
постоянным шагом. Разности между значениями
функции в соседних узлах интерполяции называ-
ются конечными разностями первого порядка:
1ii i+
( 0, 1, 2, ...)yy yi
=
−=+
Из конечных разностей первого порядка образу-
ются конечные разности второго порядка:
72
ωn+1(x) = (x – x0)(x – x1)…. (x – xn). Оценим погрешность приближения функции
Для максимальной погрешности интерполя- f(x) = x на всем отрезке в соответствии с (4.11):
ции на всем отрезке [a, b] справедлива оценка: max | x – L2(x)| ≤
[ a ,b]
M n +1
max | f(x) – Ln(x)| ≤ max |ωn(x)| (4.11) 10−5
[ a ,b] ( n + 1)! [ a ,b] ≤ max |(x – 100)(x – 121)(x –144)| ≈ 2.5⋅10–3.
16 [ a ,b]
Пример 4.5.
Оценим погрешность приближения функции 4.4. Интерполяционные многочлены Ньютона
f(x).=. x в точке x.=.116 и на всем отрезке [a, b], для равноотстоящих узлов
где a = 100, b = 144, с помощью интерполяцион- Часто интерполирование ведется для функ-
ного много члена Лагранжа L2(x) второй степени, ций, заданных таблицами с равноотстоящими зна-
построенного с узлами x0 = 100, x2 = 144. чениями аргумента. В этом случае шаг таблицы
Найдем первую, вторую и третью производ- h = xi +1 − xi (i = 0, 1, 2, ...) является величиной по-
ные функции f(x): стоянной. Для таких таблиц построение интерпо-
1 – 1/2 ляционных формул (как, впрочем, и вычисление
f '(x)= x ,
2 по этим формулам) заметно упрощается.
1 Таблица 4.1.
f "(x)= – x –3/2,
4 x x0 x1 ... xn
3 –5/2 f(x) y0 y1 ... yn
f '''(x)= x .
8
3 3 Пусть функция задана таблицей вида (4.1) с
M3 = max | f '''(x)| = 100 –5/2 = 10 –5. постоянным шагом. Разности между значениями
[ a ,b] 8 8
В соответствии с (4.9) получим оценку погрешно- функции в соседних узлах интерполяции называ-
сти в точке x = 116: ются конечными разностями первого порядка:
1 + yi = yi+1 − yi (i = 0, 1, 2, ...)
| 116 – L2(116)| ≤ |(116 – 100)(116 – 121) ×
3! Из конечных разностей первого порядка образу-
1 ются конечные разности второго порядка:
× (116 – 144)| = 10 –5⋅16⋅5⋅28 = 1.4⋅10 – 3.
16
72 73
