Составители:
2
1
(
ii i
yy y
+
=−+++
( 0)( )( )
32
(0)( )(
6636
xx x
π
π
0, 1, 2, ...)i=
Продолжая этот процесс, можно по заданной
таблице функции составить таблицу конечных
разностей (см. таблицу 4.2). Конечные разности
любого порядка могут быть представлены через
значения функции. Действительно, для разностей
первого порядка это следует из определения. Для
разностей второго порядка имеем:
2
121121
()2.
i i ii i i ii i i
yy yyy yy
++++++
= =− +()yyy−=−−−+++
Аналогично для разностей третьего порядка:
32 2
132121
321
(2 )(2 )
33
ii ii ii i ii
iiii
yy yy yy y yy
yyyy
++++++
+++
=−=−+−−+=
=− + −
++ +
и так далее.
Методом математической индукции можно
доказать, что
12
(1)
... ( 1)
2!
k k
iik ik ik
kk
.
i
y
yky y
++− +−
−
=−⋅ + ⋅ −+−⋅y
(4.12)
+
Таблица 4.2.
x y +
+ +
y
i
2
y
i
3
y
i
…
x
0
y
0
+ + +y
0
2
y
0
3
y
0
x
1
y
1
+ + +y
1
2
y
1
3
y
1
x
2
y
2
+ y
2
+
2
y
2
…
x
3
y
3
+ y
3
…
x
4
y
4
…
… …
71
+
2
1
π
)
2
ππππ
−− −
⋅
−− −
+
( 0)( )( )
62
(0)( )(
3363
xx x
π
π
+
3
2
π
)
2
ππππ
−− −
⋅
−− −
+
(0)( )( )
63
( 0)( )( )
22623
xx x
π
π
ππππ
−− −
−− −
+1
π
⋅ .
При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 ≈ 0.249.
Погрешность интерполяции. Пусть интерполяци-
онный многочлен Лагранжа построен для извест-
ной функции
f (x). Необходимо выяснить, насколь-
ко этот многочлен близок к функции в точках от-
резка [
a, b], отличных от узлов. Погрешность ин-
терполяции равна |
f(x) – P
n
(x)|. Оценку погрешно-
сти можно получить на основании следующей
теоремы.
Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема
n +1 раз на отрезке [a,.b], содержащем узлы ин-
терполяции
x
i
∈[a, b], i = 0, 1, … , n. Тогда для по-
грешности интерполяции в точке
x∈[a, b] справед-
лива оценка:
|
f(x) – L
n
(x)|≤
)!1(
1
+
+
n
M
n
[
,
max
ab
|
ω
n+1
(x)|, (4.10)
где
M
n+1
=
]
| f
(n+1)
(x)|,
74
+
yi =+ yi +1 −+ yi (i = 0, 1, 2, ...)
2
1 ( x − 0)( x − π )( x − π )
+ ⋅ 3 2 +
Продолжая этот процесс, можно по заданной 2 (π − 0)(π − π )(π − π )
таблице функции составить таблицу конечных 6 6 3 6 2
разностей (см. таблицу 4.2). Конечные разности 3 ( x − 0)( x − π )( x − π )
+ ⋅ 6 2 +
любого порядка могут быть представлены через 2 ( π − 0)(π π
− )( π −π )
значения функции. Действительно, для разностей 3 3 6 3 2
первого порядка это следует из определения. Для ( x − 0)( x − π )( x − π )
+1 ⋅ 6 3 .
разностей второго порядка имеем: π π π π
( − 0)( − )( −π )
2 2 6 2 3
+ yi =+yi+1 −+yi = ( yi+2 − yi+1) − ( yi+1 − yi ) = yi+2 − 2yi+1 + yi.
2
Аналогично для разностей третьего порядка: При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 ≈ 0.249.
Погрешность интерполяции. Пусть интерполяци-
+3 yi =+2 yi+1 −+2 yi = ( yi+3 − 2 yi+2 + yi+1) − ( yi+2 − 2 yi+1 + yi ) = онный многочлен Лагранжа построен для извест-
= yi+3 − 3yi+2 + 3yi+1 − yi ной функции f (x). Необходимо выяснить, насколь-
и так далее. ко этот многочлен близок к функции в точках от-
Методом математической индукции можно резка [a, b], отличных от узлов. Погрешность ин-
доказать, что терполяции равна | f(x) – Pn(x)|. Оценку погрешно-
сти можно получить на основании следующей
+k yi = yi+k − k ⋅ yi+k −1 + k (k −1) ⋅ yi+k −2 − ... + (−1)k ⋅ yi . (4.12) теоремы.
2!
Таблица 4.2. Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема
n +1 раз на отрезке [a,.b], содержащем узлы ин-
x y + yi + 2yi + 3yi … терполяции xi∈[a, b], i = 0, 1, … , n. Тогда для по-
x0 y0 + y0 + 2y0 + 3y0 грешности интерполяции в точке x∈[a, b] справед-
x1 y1 + y1 + 2y1 + 3y1 лива оценка:
x2 y2 + y2 + 2y2 … M n +1
x3 y3 + y3 … | f(x) – Ln(x)|≤ |ωn+1(x)|, (4.10)
( n + 1)!
x4 y4 … где Mn+1 = max | f(n+1)(x)|,
… … [ a ,b ]
74 71
