Введение в численные методы. Гладких О.Б - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Другими словами, ставится задача построе-
ния функции
y = P(x), график которой проходит
через заданные точки (
x
i
, y
i
), i.=.0,.1,.…,.n
(рис..4.1).
Объединяя (4.5) и (4.6), получим:
2
+ … + a x
m
= y , i = 0, 1, …, a
0
+ a
1
x
i
+ a
2
x
m i
n. (4.7)
i i
2
0
n
0
2
1
n
1
2
2
n
2
n n
В искомом многочлене
P(x) неизвестными
являются
m +1 коэффициент a
0
, a
1
, a
2
, …, a
m
. По-
этому систему (4.7) можно рассматривать как сис-
тему из
n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Из-
вестно, что для существования единственного ре-
шения такой системы необходимо, чтобы выпол-
нялось условие:
m = n. Таким образом, систему
(4.7) можно переписать в развернутом виде:
a
0
+ a
1
x
0
+ a
2
x + … + a
n
x
= y
0
a
0
+ a
1
x
1
+ a
2
x + … + a
n
x
= y
1
a
0
+ a
1
x
2
+ a
2
x + … + a
n
x
= y
2
(4.8)
…………………………………………
2 n
a
0
+ a
1
x
n
+ a
2
x + … + a
n
x
= y
n
Вопрос о существовании и единственности
интерполяционного многочлена решает следую-
щая теорема:
Теорема 4.1. Существует единственный интерпо-
ляционный многочлен степени
n, удовлетворяю-
щий условиям (4.6).
77
2
000 0
0
(1)
() ( ) ...
2!
(1) ... ( 1)
.
!
n
nn
tt
Px Px th y t y y
tt tt n
y
n
−
=
+=+ + +
−−+
+
++
+
01 2 1
1
() ()()( )...
( ) ... ( ).
nnn
nn
Px a ax x a x x x x
ax x x x
−
(4.15)
Формула (4.15) называется первой интерполяци-
онной формулой Ньютона. Эта формула применя-
ется для интерполирования в начале отрезка ин-
терполяции, когда
t мало по абсолютной величине.
Первую интерполяционную формулу Ньютона на-
зывают по этой причине формулой для интерпо-
лирования вперед. За начальное значение
x
0
можно
принимать любое табличное значение аргумента
х.
Когда значение аргумента находится ближе
к концу отрезка интерполяции, применять первую
интерполяционную, формулу становится невыгод-
но. В этом случае применяется формула для ин-
терполирования назад – вторая интерполяционная
формула Ньютона, которая отыскивается в
виде:
=
n
+−+− −+
+− −
(4.16)
Как и для первой формулы Ньютона, коэффициен-
ты
a
0
, a
1
, ... a
n
находятся из условия совпадения
значений функции и интерполяционного много-
члена в узлах:
;
!
k
nk
k
k
y
a
kh
−
=
+
(4.17)
68 
       Другими словами, ставится задача построе-                                                                      t (t − 1) 2
                                                                      Pn ( x) = Pn ( x0 + th) = y0 + t+ y0 +                   + y0 + ...
ния функции y = P(x), график которой проходит                                                                             2!              (4.15)
через заданные точки (xi, yi), i.=.0,.1,.…,.n                             t (t − 1) ... t (t − n + 1)
(рис..4.1).
                                                                      +                                 +
                                                                                                        n
                                                                                                            y0 .
                                                                                       n!
       Объединяя (4.5) и (4.6), получим:                      Формула (4.15) называется первой интерполяци-
a0 + a1xi + a2x i2 + … + amx im = yi, i = 0, 1, …, n. (4.7)   онной формулой Ньютона. Эта формула применя-
       В искомом многочлене P(x) неизвестными                 ется для интерполирования в начале отрезка ин-
являются m +1 коэффициент a0 , a1, a2, …, am. По-             терполяции, когда t мало по абсолютной величине.
этому систему (4.7) можно рассматривать как сис-              Первую интерполяционную формулу Ньютона на-
тему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Из-               зывают по этой причине формулой для интерпо-
вестно, что для существования единственного ре-               лирования вперед. За начальное значение x0 можно
шения такой системы необходимо, чтобы выпол-                  принимать любое табличное значение аргумента х.
нялось условие: m = n. Таким образом, систему                       Когда значение аргумента находится ближе
(4.7) можно переписать в развернутом виде:                    к концу отрезка интерполяции, применять первую
          a0 + a1 x0 + a2x 02 + … + anx 0n = y0               интерполяционную, формулу становится невыгод-
                                                              но. В этом случае применяется формула для ин-
          a0 + a1 x1 + a2x 12 + … + anx 1n = y1
                                                              терполирования назад – вторая интерполяционная
          a0 + a1 x2 + a2x 22 + … + anx n2 = y2    (4.8)      формула Ньютона, которая отыскивается в виде:
          …………………………………………
                                                              Pn ( x) = a0 + a1 ( x − xn ) + a2 ( x − xn )( x − xn−1 ) + ...
          a0 + a1 xn + a2x 2n + … + anx nn = yn                                                                                      (4.16)
                                                              + an ( x − xn ) ... ( x − x1 ).
     Вопрос о существовании и единственности
интерполяционного многочлена решает следую-                   Как и для первой формулы Ньютона, коэффициен-
щая теорема:                                                  ты a0, a1, ... an находятся из условия совпадения
Теорема 4.1. Существует единственный интерпо-                 значений функции и интерполяционного много-
ляционный многочлен степени n, удовлетворяю-                  члена в узлах:
щий условиям (4.6).
                                                                                               ak   =
                                                                                                      +     k
                                                                                                           yn − k
                                                                                                                  ;                      (4.17)
                                                                                                        k !h k
                            68                                                                          77

Страницы