Введение в численные методы. Гладких О.Б - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

ского анализа известно, что для
k-ой производной
от
e
x
справедливо равенство:
(e
x
)
(k)
= e
x
.
Поэтому
(k)
= e
1/2
,
ельно, мно ля функции y
e
1/2 +
(x – ½) +
(
e
a
) = e
a
Следоват гочлен Тейлора д
= e
x
имеет вид:
e
x
= e
1/2
!2
(x – ½)
2
+
2/1
e
+ … +
!n
n
n
При этом, учитывая x оцен-
)| <
2/1
e
(x – ½) + R (x),
, что
∈ [0, 1], получим
ку погрешности:
|
R
n
(x
)!1(2
1
+
+
n
n
. (4.4)
Составим таблицу , выч
4 5 6
e
погрешностей исленных по
формуле (4.4):
n
2 3
R
n
0.057 0.0071 0.00071 0.000059 0.0000043
Т и
многочленами Ла-
функ
79
Рис.4.2.
Эта функциональная зависимость должна с
достаточной точност етствовать исходной
табли
Погрешность приближения оценивает
ческого уклонения
ью соотв
чной зависимости. В качестве критерия точ-
ности чаще всего используют критерий
наимень-
ших квадратов
, т.е. определяют такую функцио-
нальную зависимость
f(x), при которой
S =
∑
=
−
n
i
ii
fy
0
2
)(
, (4.19)
обращается в минимум.
ся ве-
личиной среднеквадрати
ак м образом, следует взять
n = 6.
Δ
= S
n
1
1
+
. (4.20)
В качестве функциональной зависимости
4.3. Интерполяция функции
гранжа
Рассмотрим другой подход к приближению
рассмот-
рим многочлен
римет вид
ции многочленами. Пусть функция
y = f (x)
P
m
(x)=a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+...+a
m
x
m
. (4.21)
Формула (4.12) п
66 
ского анализа известно, что для k-ой производной
от ex справедливо равенство:
                     (ex)(k) = ex.
Поэтому
                   (ea)(k) = ea = e1/2,
Следовательно, многочлен Тейлора для функции y
= ex имеет вид:
                                             e1 / 2
           ex = e1/2 + e1/2(x – ½) +                (x – ½)2 +
                                              2!
                      e1 / 2                                                                Рис.4.2.
                + … + n! (x – ½)n+ Rn(x),
                                                                        Эта функциональная зависимость должна с
При этом, учитывая, что x ∈ [0, 1], получим оцен-                  достаточной точностью соответствовать исходной
ку погрешности:                                                    табличной зависимости. В качестве критерия точ-
                     | Rn(x)| <
                                               e
                                                       .   (4.4)   ности чаще всего используют критерий наимень-
                                      n +1
                                  2          ( n + 1)!             ших квадратов, т.е. определяют такую функцио-
Составим таблицу погрешностей, вычисленных по                      нальную зависимость f(x), при которой
                                                                                      n
формуле (4.4):                                                                  S=   ∑(y
                                                                                     i =0
                                                                                            i   − fi )2 ,   (4.19)
 n    2      3      4        5        6                            обращается в минимум.
 Rn 0.057 0.0071 0.00071 0.000059 0.0000043                             Погрешность приближения оценивается ве-
Таким образом, следует взять n = 6.                                личиной среднеквадратического уклонения
                                                                                                   1
4.3. Интерполяция функции многочленами Ла-                                           Δ=               S.    (4.20)
                                                                                                 n +1
                   гранжа                                          В качестве функциональной зависимости рассмот-
      Рассмотрим другой подход к приближению                       рим многочлен
функции многочленами. Пусть функция y = f (x)                               Pm(x)=a0 + a1x + a2x2+...+amxm. (4.21)
                                                                   Формула (4.12) примет вид
                          66                                                                     79

Страницы