Составители:
f
(2k)
(0) = 0;
S =
∑
−
n
imi
xPy
2
))((
f
(2k+1)
(ξ) = (–1)
k
cos
ξ
.
=i 0
Условия минимума
S можно записать, при-
равнивая ю частные производные
S по всем
перем ым
a , a , … , a . Получим систему
уравн
Следовательно, многочлен Тейлора для функции
y.= sin x для n = 2k имеет вид:
нул
енн
0 1 2 m
ений
,
a
k
дa
дS
= –
∑
−−−−
n
i
k
i
m
imi
xxaxaay
110
)...(2 = 0, или
n
=0
∑
=
−−
i
k
i
m
im
xxaa
0
110
)...( = 0,
k = 0, 1, … , m.
Сист в с
щем виде:
=i 0 =i 0 =i 0
0, 1, … , m
ем о ачен
=i 0
∑
=
n
i
k
ii
xy
0
.
может быть записана так:
a
0
c
k
+ a
1
c
k+1
+ … + a
m
= 0, 1, , m. (4.24)
том
:
c
a
0
+ c
2
a
1
+ c
3
a
2
+ … + c
m+1
a
m
= b
1
… … … (4.25)
−−
i
ay (4.22) x
ему уравнений (4.22) перепишем ледую-
a
0
∑
=
n
i
k
i
x
0
+ a
1
∑
+
n
k
i
x
1
+ … +a
m
∑
+mk
i
x =
∑
n
k
ii
xy , (4.23)
n
k =
Введ бозн ия:
c
k
=
∑
n
k
i
x , b
k
=
Система (4.23)
c
k+m
b
k
, k = …
Перепишем систему (4.24) в разверну
виде
0
a
0
+ c
1
a
1
+ c
2
a
2
+ … + c
m
a
m
= b
0
c
1
… …… ………………………...
65
sin x = x –
!3
3
x
+ … + (–1)
k – 1
)!12(
12
−
−
k
x
k
+ R
2k
(x),
R
2k
(x) = (–1)
k
12
)!12(
cos
+
+
k
x
k
ξ
.
π
π
Зададим
ε
= 10.
–.4
и отрезок [– ,
4 4
]. Определим
n.=.2k из неравенства:
|R
2k
(x)|=
12
||
)!12(
|cos|
+
+
k
x
k
ξ
<
12
4)!12(
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
k
k
π
<
)!12(
8.0
+k
.
Таким образом, на отрезке
–
<.
ε
=10
– 4
π
π
,
4 4
функция y = sinx
.
равна
x = x –
с точностью до
ε
= 10
–4
многочлену 5-ой
степени:
sin
!3
3
x
+
!5
= x – 0.1667x
3
+ 0.0083x
5
.
Найдем приб кции
y = e
x
много-
члено
5
x
Пример 4.2.
лижение фун
м Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью
ε
.=.10
–5
.
Выберем
a = ½, т.е. в середине отрезка. При
этом величина погрешности в левой части (4.2)
принимает минимальное значение. Из математиче-
80
n
f (2k)(0) = 0;
S= ∑ ( yi − Pm ( xi )) 2
i =0 f (2k+1)(ξ) = (–1)kcosξ .
Условия минимума S можно записать, при- Следовательно, многочлен Тейлора для функции
равнивая нулю частные производные S по всем y.= sin x для n = 2k имеет вид: 2 k −1
переменным a0, a1, a2, … , am. Получим систему x
x3
уравнений sin x = x – + … + (–1)k – 1 (2k − 1)! + R2k(x),
3!
дS n cos ξ 2 k +1
= – ∑ 2( yi − a0 − a1 x1 − ... − am xim ) xik = 0, или R2k(x) = (–1) (2k + 1)! x .
k
дa k i =0
n
π π
∑(y
i =0
i − a0 − a1 x1 − ... − am xim ) xik = 0, (4.22) Зададим ε = 10 –.4 и отрезок [– , ]. Определим
.
4 4
k = 0, 1, … , m. n.=.2k из неравенства:
Систему уравнений (4.22) перепишем в следую-
|R2k(x)|= | cos ξ | | x |2 k +1 <
2 k +1
1 ⎛π ⎞ < 0.8
<.ε =10– 4.
щем виде: ⎜ ⎟
(2k + 1)! ( 2k + 1)! ⎝ 4 ⎠ (2k + 1)!
n n n n
a0 ∑ xik + a1 ∑ xik +1 + … +am ∑ xik +m = ∑yx k
i i , (4.23) Таким образом, на отрезке – ,
π π
функция y = sinx
i =0 i =0 i =0 i =0
4 4
k = 0, 1, … , m с точностью до ε = 10–4 равна многочлену 5-ой
Введем обозначения:
.
n n
степени:
ck = ∑x
i =0
k
i , bk = ∑yx
i =0
k
i i .
sin x = x –
x3
+
x5
= x – 0.1667x3 + 0.0083x5.
3! 5!
Система (4.23) может быть записана так:
a0ck + a1ck+1 + … + ck+mam = bk, k = 0, 1, … , m. (4.24) Пример 4.2.
Перепишем систему (4.24) в развернутом Найдем приближение функции y = ex много-
виде: членом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью
ε.=.10 –5.
c0a0 + c1a1 + c2a2 + … + cmam = b0 Выберем a = ½, т.е. в середине отрезка. При
c1a0 + c2a1 + c3a2 + … + cm+1am = b1 этом величина погрешности в левой части (4.2)
……………………………………...… (4.25) принимает минимальное значение. Из математиче-
80 65
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
