Составители:
включительно совпадают с соответствующими
производными функции
f, т. е.
)(k
(a)= f
(k)
(a), k =
81
Мат
щий
k
, следо
(4.21)
c
m
a
0
+ c
m+1
a
1
+ c
m+2
a
2
+… + c
2m
a
m
= b
m
ричная запись системы (4.25) имеет следую-
вид
T 0, 1, …, n.
:
n
Ca = b. (4.26)
Для определения коэффициентов
a , k = 0, 1,
… ,
m, и
В этом легко убедиться, дифференцируя
T
n
(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейло-
ра хорошо приближает функцию
f в окрестности
точки
a. Погрешность приближения составляет
вательно, искомого многочлена
, необходимо вычислить суммы
c
k
b
k
и ре-
шить систему уравнений (4.25). Матрица
C систе-
мы (4.26) называется матрицей Грама и является
симметричной и положительно определенной. Эти
полезные свойства используются при решении.
Погрешность приближения в соответствии с
формулой (4.20) составит
|
f (x) – T
n
(x)| = | R
n
(x)|,
т. е. задавая некоторую точность
ε
> 0, можно оп-
ределить окрестность точки
a и значение n из ус-
ловия:
|
R
n
(x)| =
1
)1(
)(
)!1
)(
+
+
−
+
n
n
ax
ξ
(n
f
<
ε
. (4.2)
Пример 4.1.
Найдем приближение функции y = sinx мно-
гочленом Тейлора в окрестности точки
a = 0. Вос-
пользуемся известным выражением для
k-ой про-
изводной функции
sin x:
(
sin x)
(k)
= sin x + k
2
π
(4.3)
Применяя последовательно формулу (4.3), полу-
чим:
f (0) = sin 0 = 0;
f '(0) = cos 0 = 1;
f"(0) = – sin 0 = 0;
……………………
f
(2k-1)
(0) = sin (2k – 1)
2
π
= (–1)
k – 1
;
Δ
=
()
∑
=
−
+
n
i
imi
xPy
n
0
2
)(
1
1
. (4.27)
Рассмотрим частные случаи
m =1 и m = 2.
1. Линейная аппроксимация (m = 1).
=i 0
=
∑
=
n
i
i
x
0
2
; (4.28)
b
0
=
=i 0
=0
; b
1
∑
=
n
i
i
y
0
=
ii
xy
0
P
1
(x) = a
0
+ a
1
x.
c
0
=
∑
n
i
x
0
= n + 1; c
1
=
∑
n
i
x
1
=
∑
n
x ; c
2
=i 0
=i
i
0
n
∑
n
ii
xy
0
=
∑
i
i
y =
i
x
1
=
∑
n
i
. (4.29)
64
включительно совпадают с соответствующими cma0 + cm+1a1 + cm+2a2 +… + c2mam = bm
производными функции f, т. е. Матричная запись системы (4.25) имеет следую-
T (kn ) (a)= f (k)(a), k = 0, 1, …, n. щий вид:
В этом легко убедиться, дифференцируя Ca = b. (4.26)
Tn(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейло- Для определения коэффициентов ak, k = 0, 1,
ра хорошо приближает функцию f в окрестности … , m, и, следовательно, искомого многочлена
точки a. Погрешность приближения составляет (4.21) необходимо вычислить суммы ck, bk и ре-
| f (x) – Tn(x)| = | Rn(x)|, шить систему уравнений (4.25). Матрица C систе-
т. е. задавая некоторую точность ε > 0, можно оп- мы (4.26) называется матрицей Грама и является
ределить окрестность точки a и значение n из ус- симметричной и положительно определенной. Эти
ловия: полезные свойства используются при решении.
f ( n +1) (ξ ) Погрешность приближения в соответствии с
| Rn(x)| = ( x − a ) n +1 < ε. (4.2) формулой (4.20) составит
(n + 1)!
1 n
Пример 4.1. Δ= ∑ ( yi − Pm ( xi ) )2 . (4.27)
n + 1 i =0
Найдем приближение функции y = sinx мно-
гочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Вос- Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.
пользуемся известным выражением для k-ой про- 1. Линейная аппроксимация (m = 1).
изводной функции sin x: P1(x) = a0 + a1x.
π n n n n
(sin x)(k) = sin x + k (4.3) c0 = ∑ xi0 = n + 1; c1 = ∑ xi1 = ∑ xi ; c2 = ∑x 2
; (4.28)
2 i =0 i =0 i =0 i =0
i
Применяя последовательно формулу (4.3), полу- n n n n
чим: f (0) = sin 0 = 0; b0 = ∑ yi xi0 =
i =0
∑ yi ; b1 =
i =0
∑ yi xi1 =
i =0
∑yx .
i =0
i i (4.29)
f '(0) = cos 0 = 1;
f"(0) = – sin 0 = 0;
……………………
π
f (2k-1)(0) = sin (2k – 1) = (–1)k – 1 ;
2
64 81
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
