Составители:
x
3
= 1.2, x
4
= 1.4. Шаг 4. Вычислить величину погрешности
Сравнение с примером 3.5 показывает, что
метод Зейделя сходится быстрее и дает более точ-
ный результат.
Тема 4. Приближение функций
4.1. Постановка задачи
Задача приближения (аппроксимации) функ-
ций заключается в том, чтобы для данной функции
построить другую, отличную от нее функцию,
значения которой достаточно близки к значениям
данной функции. Укажем наиболее типичные слу-
чаи:
1. функция задана таблицей в конечном множестве
точек, а вычисления нужно произвести в других
точках;
2. функция задана аналитически, но ее вычисление
по формуле затруднительно;
При решении задачи поиска приближенной
функции возникают следующие проблемы:
1. необходимо выбрать вид приближенной функ-
ции (для приближения широко используются
многочлены, тригонометрические функции, по-
казательные функции и т.д.);
2. необходимо выбрать критерий близости исход-
ной и приближенной функции (это может быть
требование совпадения обеих функций в узло-
вых точках (задача интерполяции), минимиза-
83
Δ
1
=
()
∑
=
+−
+
i
ii
xaay
n
0
2
10
)(
1
∑
=
n
i
i
x
0
0
∑
=i
i
x
0
1
∑
=i
i
x
0
∑
=
n
i
i
x
0
2
∑
=
n
i
i
x
0
3
∑
=
n
i
i
x
0
4
∑
=
n
i
ii
xy
0
0
∑
=
n
i
i
y
0
∑
=
n
i
ii
xy
0
1
∑
=
n
i
ii
xy
0
∑
=
n
i
ii
xy
0
2
012
12
234
ccc
ccc
ccc
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
n
1
. (4.31)
Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксими-
рующую линейную функцию
P
1
(x) = a
0
+ a
1
x и ве-
личину погрешности
Δ
1
.
2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).
P
2
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
.
n n
c
0
= = n+1; c
1
= = ;
c
2
= ; c
3
= ; c
4
= . (4.32)
b
0
= = ; b
1
= = ;
b
2
= . (4.33)
C =
3
b = (b
0
, b
1
, b
2
)
T
.
Решение системы уравнений Ca = b найдем по
правилу Крамера:
C
C
i
a
i
= , i = 0, 1,
62
x3 = 1.2, x4 = 1.4. Шаг 4. Вычислить величину погрешности
Сравнение с примером 3.5 показывает, что n
Δ1 = ∑ 1 ( yi − (a0 + a1 xi ) )2 . (4.31)
метод Зейделя сходится быстрее и дает более точ- n +1 i =0
ный результат. Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксими-
Тема 4. Приближение функций рующую линейную функцию P1(x) = a0 + a1x и ве-
4.1. Постановка задачи личину погрешности Δ1.
Задача приближения (аппроксимации) функ-
2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).
ций заключается в том, чтобы для данной функции
P2(x) = a0 + a1x + a2x2.
построить другую, отличную от нее функцию, n n n
значения которой достаточно близки к значениям c0 = ∑ xi0 = n+1; c1 = ∑ xi1 = ∑ xi ;
данной функции. Укажем наиболее типичные слу- i =0
n n
i =0
n
i =0
чаи: c2 = ∑ xi2 ; c3 = ∑ xi3 ; c4 = ∑ xi4 . (4.32)
1. функция задана таблицей в конечном множестве i =0 i =0 i =0
n n n n
точек, а вычисления нужно произвести в других b0 = ∑ yi xi0 = ∑ yi ; b1 = ∑ yi xi1 = ∑ yi xi ;
точках; i =0 i =0 i =0 i =0
n
2. функция задана аналитически, но ее вычисление
по формуле затруднительно;
b2 = ∑yx
i =0
2
i i . (4.33)
При решении задачи поиска приближенной ⎛ c0 c1 c2 ⎞
функции возникают следующие проблемы: C = ⎜⎜ c1 c2 c3 ⎟⎟
1. необходимо выбрать вид приближенной функ- ⎜c
ции (для приближения широко используются ⎝ 2 c3 c4 ⎟⎠
многочлены, тригонометрические функции, по- b = (b0, b1, b2)T .
казательные функции и т.д.);
2. необходимо выбрать критерий близости исход- Решение системы уравнений Ca = b найдем по
ной и приближенной функции (это может быть правилу Крамера:
Ci
требование совпадения обеих функций в узло- ai = , i = 0, 1,
вых точках (задача интерполяции), минимиза- C
62 83
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
