Введение в численные методы. Гладких О.Б - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

процесс следует закончить, как только на (
k+1)-ом
шаге выполнится неравенство:
Шаг 3. Вычислить ⎥C⎥, ⎥C
1
⎥, ⎥C
2
⎥, ⎥C
3
⎥ по форму-
лам (4.34) – (4.37).
β
Шаг 4. Вычислить a
0
, a
1
, a
2
по формулам (4.38).
β
−1
2
1+k k
1+k
i
k
max| x
i
– x
i
| <
ε
, i = 1, 2, …, n. (3.41)
Шаг 5. Вычислить величину погрешности
Поэтому в качестве критерия окончания ите-
рационного процесса можно использовать нера-
венство
()
max|
x – x
i
| <
ε
1
, i = 1, 2, …, n. (3.42)
где
ε
1 =
2
1
β
β
−
ε
.
Если выполняется условие
β
≤
2
1
i i
85
, то можно поль-
зоваться более простым критерием окончания:
1+k k
max|
x – x | <
ε
, i = 1, 2, …, n. (3.43)
Метод Зейделя, как правило, сходится быст-
рее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуа-
ции, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя
сходится медленнее или вообще расходится.
Пример 3.6.
Применим метод Зейделя для решения сис-
темы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые ша-
ги полностью совпадают с процедурой решения по
методу Якоби, а именно: система приводится к ви-
ду (3.34), затем в качестве начального приближе-
ния выбираются элементы столбца свободных
членов (3.35). Проведем теперь итерации методом
Зейделя:
Δ
2
=
∑
=
++−
+
n
i
iii
xaxaay
n
0
2
2
210
)(
1
1
. (4.39)
Шаг 6. Вывести на экран результаты : аппрокси-
мирующую квадратичную функцию
P
2
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
и величину погрешности
Δ
2
.
Пример 4.6.
Построим по методу наименьших квадратов
многочлены первой и второй степени и оценим
степень приближения. Значения
y
i
в точках x
i
, i =0,
1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.
Таблица 4.3
i
0 1234
x
i
1 2345
y
i
–11246
Вычислим коэффициенты c
0
, c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, b
0
,
b
1
, b
2
,
по формулам (4.32), (4.33):
c
0
= 5; c
1
= 15; c
2
= 55;
c
3
= 225; c
4
= 979;
b
0
= 12; b
1
= 53; b
2
= 235.
1. Линейная аппроксимация (m =1).
60 
процесс следует закончить, как только на (k+1)-ом                   Шаг 3. Вычислить ⎥C⎥, ⎥C1⎥, ⎥C2⎥, ⎥C3⎥ по форму-
шаге выполнится неравенство:                                        лам (4.34) – (4.37).
            β2                                                      Шаг 4. Вычислить a0, a1, a2 по формулам (4.38).
                max| x ik +1 – x ik | < ε, i = 1, 2, …, n. (3.41)
           1− β                                                     Шаг 5. Вычислить величину погрешности
     Поэтому в качестве критерия окончания ите-
                                                                                           ( yi − (a0 + a1 xi + a2 xi2 ) ) . (4.39)
                                                                                  n
                                                                                       1
                                                                         Δ2 = ∑
                                                                                                                          2
рационного процесса можно использовать нера-
                                                                                i =0 n + 1
венство
        max| x ik +1 – x ik | < ε1, i = 1, 2, …, n. (3.42)          Шаг 6. Вывести на экран результаты : аппрокси-
                                                                    мирующую квадратичную функцию
           1− β
где ε1 =          ε.                                                                  P2(x) = a0 + a1x + a2x2
            β2
                                                                    и величину погрешности Δ2.
Если выполняется условие β ≤ 12 , то можно поль-
                                                                                            Пример 4.6.
зоваться более простым критерием окончания:                                Построим по методу наименьших квадратов
         max| x ik +1 – x ik | < ε, i = 1, 2, …, n. (3.43)          многочлены первой и второй степени и оценим
      Метод Зейделя, как правило, сходится быст-                    степень приближения. Значения yi в точках xi , i =0,
рее, чем метод Якоби. Однако возможны ситуа-                        1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.
ции, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя                                                          Таблица 4.3
сходится медленнее или вообще расходится.                                             i 0 1 2 3 4
                                                                                      xi 1 2 3 4 5
                    Пример 3.6.
                                                                                      yi –1 1 2 4 6
      Применим метод Зейделя для решения сис-
темы уравнений (3.33) из примера 3.5. Первые ша-                            Вычислим коэффициенты c0, c1, c2, c3, c4, b0,
ги полностью совпадают с процедурой решения по                      b1, b2, по формулам (4.32), (4.33):
методу Якоби, а именно: система приводится к ви-                                       c0 = 5; c1 = 15; c2 = 55;
ду (3.34), затем в качестве начального приближе-                                       c3 = 225; c4 = 979;
ния выбираются элементы столбца свободных                                              b0 = 12; b1 = 53; b2 = 235.
членов (3.35). Проведем теперь итерации методом
                                                                    1. Линейная аппроксимация (m =1).
Зейделя:

                               60                                                                 85

Страницы