Составители:
Система уравнений для определения коэф-
фициентов
a
0
и a
1
многочлена первой степени
Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет
вид:
x
k+1
= B
1
x
k+1
+ B
2
x
k
+ c. (3.37) P
2
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
имеет вид
Так как B = B
1
+ B
2
, точное решение x
*
ис-
ходной системы удовлетворяет равенству:
5a
0
+ 15a
1
= 12,
15
a
0
+ 55a
1
= 53.
По формулам (4.30) найдем коэффициенты a
0
и a
1
:
a
0
=
2
120
1120
ccc
cbcb
−
−
≈ –2.7, a
1
=
2
120
1001
ccc
cbcb
−
−
≈ 1.7.
P
1
(x) = a
0
+ a
1
x = –2.7 + 1.7x.
2. Квадратичная аппроксимация (m =2).
Система уравнений для определения коэф-
фициентов
a
0
, a
1
и a
2
многочлена второй степени
P
2
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
имеет вид
5a
0
+ 15a
1
+ 55a
2
= 12
15
a
0
+ 55a
1
+ 225a
2
= 53
55
a
0
+ 225a
1
+ 979a
2
= 235.
По формулам (4.38) найдем коэффициенты a
0
, a
1
и a
2
:
a
0
≈ – 2.20, a
1
≈ 1.27, a
2
≈ 0.07.
P
2
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
= – 2.20 + 1.27x + 0.07x
2
.
Сравним значения, рассчитанные для функ-
циональной зависимости, с исходными данными.
Результаты приведены в табл.4.4.
Таблица 4.4
i
0 1 2 3 4
x
*
= B
1
x
*
+ B
2
x
*
+ c. (3.38)
Сходимость метода Зейделя. Достаточным усло-
вием сходимости метода Зейделя является выпол-
нение неравенства:
β
= max | b
ij
|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)
Неравенство (3.39) означает, что для сходимости
метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный
по модулю элемент матрицы
B был меньше еди-
ницы.
Если выполнено условие (3.39), то справед-
лива следующая апостериорная оценка погрешно-
сти:
59
*
i
k
i
β
max|
x – x | ≤
β
−1
2
1+k
i
k
i
max| x – x | (3.40)
i = 1, 2, …, n,
где
β
– максимальный элемент матрицы B,
β
2
–
максимальный элемент матрицы
B
2
.
Правую часть оценки (3.40) легко вычислить
после нахождения очередного приближения.
Критерий окончания. Если требуется найти реше-
ние с точностью
ε
, то в силу (3.37) итерационный
86
Система уравнений для определения коэф- Матричная запись расчетных формул (3.36) имеет
фициентов a0 и a1 многочлена первой степени вид:
P2(x) = a0 + a1x + a2x2 x k+1= B1x k+1+ B2x k+ c. (3.37)
имеет вид Так как B = B1+ B2, точное решение x* ис-
5a0 + 15a1 = 12, ходной системы удовлетворяет равенству:
15a0 + 55a1 = 53. x*= B1x*+ B2x*+ c. (3.38)
По формулам (4.30) найдем коэффициенты a0 и a1: Сходимость метода Зейделя. Достаточным усло-
b0 c2 − b1c1 bc −b c вием сходимости метода Зейделя является выпол-
a0 = ≈ –2.7, a1 = 1 0 0 21 ≈ 1.7.
c0 c2 − c1
2
c0 c2 − c1 нение неравенства:
P1(x) = a0 + a1x = –2.7 + 1.7x. β = max | bij|,< 1, i, j = 1, 2, …, n. (3.39)
Неравенство (3.39) означает, что для сходимости
2. Квадратичная аппроксимация (m =2). метода Зейделя достаточно, чтобы максимальный
Система уравнений для определения коэф- по модулю элемент матрицы B был меньше еди-
фициентов a0, a1 и a2 многочлена второй степени ницы.
P2(x) = a0 + a1x + a2x2 имеет вид Если выполнено условие (3.39), то справед-
5a0 + 15a1 + 55a2 = 12 лива следующая апостериорная оценка погрешно-
15a0 + 55a1 + 225a2 = 53 сти:
55a0 + 225a1 + 979a2 = 235. β2
max| x *i – x ik | ≤ max| x ik +1 – x ik | (3.40)
По формулам (4.38) найдем коэффициенты a0, a1 и a2: 1− β
i = 1, 2, …, n,
a0 ≈ – 2.20, a1 ≈ 1.27, a2 ≈ 0.07.
где β – максимальный элемент матрицы B, β2 –
P2(x) = a0 + a1x + a2x2 = – 2.20 + 1.27x + 0.07x2.
максимальный элемент матрицы B2.
Сравним значения, рассчитанные для функ- Правую часть оценки (3.40) легко вычислить
циональной зависимости, с исходными данными. после нахождения очередного приближения.
Результаты приведены в табл.4.4. Критерий окончания. Если требуется найти реше-
Таблица 4.4 ние с точностью ε, то в силу (3.37) итерационный
i 0 1 2 3 4
86 59
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
