Введение в численные методы. Гладких О.Б - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

сложной для вычислений. Кроме того, точное зна-
чение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить,
если функция
f(x) задается таблицей. В этих случа-
ях обращаются к методам численного интегриро-
вания.
Суть численного интегрирования заключает-
ся в том, что подынтегральную функцию
f (x) за-
меняют другой приближенной функцией, так, что-
бы, во-первых, она была близка к
f (x) и, во вто-
рых, интеграл от нее легко вычислялся. Например,
можно заменить подынтегральную функцию ин-
терполяционным многочленом. Широко исполь-
зуют
квадратурные формулы:
b
∫
a
dxxf )(
∑
=
n
i
ii
xfA
0
)(
∫
a
dxxf )(
57
4
1
4
2
4
3
4
4
k
i
1
4
2
3
2
4
3
3
3
4
4
3
4
5
1
5
2
5
3
5
4
k
i
1
5
2
4
2
3 3
5
4
4
4
при
k = 4
x = 0.8004, x = 1.0005,
x = 1.2005, x = 1.4003.
Вычисляем модули разностей значений
x при k = 3 и k = 4:
4 3
|
x – x
1
| = 0.026, | x – x | = 0.028,
| x – x |
= 0.0030, | x – x | = 0.0020,
так как все они больше заданной точности
ε
= 10
-3
,
продолжаем итерации:
при
k = 5
x = 0.7999, x = 0.9999,
x = 1.1999, x = 1.3999.
Вычисляем значений
x при k = 4 и k = 5:
|
x
5
– x
4
|
модули разностей
≈ , (5.2)
1
= 0.0005, | x – x | = 0.0006,
| x
5
– x
4
| = 0.0006, | x – x | = 0.0004.
где
x
i
.–.некоторые точки на отрезке [a,.b], назы-
ваемые
узлами квадратурной формулы, A
i
– чи-
словые коэффициенты, называемые
весами квад-
ратурной формулы, n
≥ 0 – целое число.
меньше заданной точности
ε
= 10
-3
Все они , по-
этому итерации заканчиваем. Приближенным ре-
шением системы являются следующие значения:
x
5.2. Метод средних прямоугольников
≈
0.7999, x
≈
0.9999,
1 2
Формулу прямоугольников можно получить
из геометрической интерпретации интеграла. Бу-
дем интерпретировать интеграл
b
как пло-
щадь криволинейной трапеции, ограниченной
x
3
≈
1.1999, x
4
≈
1.3999.
Для приведем точные значения
переменных:
сравнения
x
1
= 0.8, x
2
= 1.0,
x
3
= 1.2, x
4
= 1.4.
88 
сложной для вычислений. Кроме того, точное зна-                         при k = 4
чение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить,                                        x 14 = 0.8004, x 42 = 1.0005,
если функция f(x) задается таблицей. В этих случа-                                       x 34 = 1.2005, x 44 = 1.4003.
ях обращаются к методам численного интегриро-                                  Вычисляем модули разностей значений
вания.                                                                  x i при k = 3 и k = 4:
                                                                          k

      Суть численного интегрирования заключает-
                                                                                 | x 14 – x 13 | = 0.026,       | x 42 – x 32 | = 0.028,
ся в том, что подынтегральную функцию f (x) за-
меняют другой приближенной функцией, так, что-                                   | x 34 – x 33 | = 0.0030, | x 44 – x 34 | = 0.0020,
бы, во-первых, она была близка к f (x) и, во вто-                       так как все они больше заданной точности ε = 10-3,
рых, интеграл от нее легко вычислялся. Например,                        продолжаем итерации:
можно заменить подынтегральную функцию ин-                              при k = 5
терполяционным многочленом. Широко исполь-                                               x 15 = 0.7999, x 52 = 0.9999,
зуют квадратурные формулы:                                                               x 53 = 1.1999, x 54 = 1.3999.
              b                  n
                                                                               Вычисляем модули разностей значений
              ∫   f ( x )dx ≈   ∑ A f (x ) ,
                                i =0
                                       i   i                   (5.2)    x i при k = 4 и k = 5:
                                                                          k
              a

где xi.–.некоторые точки на отрезке [a,.b], назы-                               | x 15 – x 14 | = 0.0005,       | x 52 – x 42 | = 0.0006,
ваемые узлами квадратурной формулы, Ai – чи-                                    | x 53 – x 34 | = 0.0006, | x 54 – x 44 | = 0.0004.
словые коэффициенты, называемые весами квад-                            Все они меньше заданной точности ε = 10-3, по-
ратурной формулы, n ≥ 0 – целое число.                                  этому итерации заканчиваем. Приближенным ре-
                                                                        шением системы являются следующие значения:
        5.2. Метод средних прямоугольников
                                                                                         x1 ≈ 0.7999, x2 ≈ 0.9999,
      Формулу прямоугольников можно получить                                             x3 ≈ 1.1999, x4 ≈ 1.3999.
из геометрической интерпретации интеграла. Бу-                                 Для сравнения приведем точные значения
                                               b
                                                                        переменных:
дем интерпретировать интеграл                  ∫ f ( x )dx
                                               a
                                                             как пло-
                                                                                                  x1 = 0.8, x2 = 1.0,
щадь криволинейной трапеции, ограниченной                                                         x3 = 1.2, x4 = 1.4.


                                88                                                                     57

Страницы