Введение в численные методы. Гладких О.Б - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3.5.
Применим метод простой итерации Якоби
для решения системы уравнений
20.9x
1
+ 1.2
x
2
+ 2.1x
3
+ 0.9x
4
= 21.70
1.2
x
1
+ 21.2
x
2
+ 1.5x
3
+ 2.5x
4
= 27.46
2.1
x
1
+ 1.5
x
2
+ 19.8x
3
+ 1.3x
4
= 28.76 (3.33)
0.9
x
1
+ 2.5
x
2
+ 1.3x
3
+ 32.1x
4
= 49.72
Заметим, что метод простой итерации схо-
дится, т. к. выполняется условие преобладания
диагональных элементов (3.28):
Рис. 5.2.
|20.9| > |1.2| + |2.1| + |0.9|,
|21.2| > |1.2| + |1.5| + |2.5|,
|19.8| > |2.1| + |1.5| + |1.3|,
|32.1| > |0.9| + |2.5| + |1.3|.
Пусть требуемая точность
ε
= 10
–3
. Вычисления
будем проводить с четырьмя знаками после деся-
тичной точки.
Рис. 5.3.
Приведем систему к виду (3.25):
x
1
= – 0.0574
x
2
– 0.1005x
3
– 0.0431x
4
+ 1.0383
Эта фигура состоит из
n прямоугольников. Осно-
вание
i-го прямоугольника образует отрезок
[
x
i
,.,x
i+1
] длины h, а высота основания равна значе-
нию функции в середине отрезка [
x
i
,.x
i+1
], т е.
f.
⎟
⎠
⎜
⎝
+
+
2
1ii
55
⎞⎛
xx
(рис. 5.4).
x
2
= – 0.0566x
1
– 0.0708x
3
– 0.1179x
4
+ 1.2953
x
3
= – 0.1061x
1
– 0.0758 x
2
– 0.0657x
4
+ 1.4525
x
4
= – 0.0280x
1
– 0.0779 x
2
– 0.0405x
3
+ 1.5489
(3.34)
Величина
β
= max | b
ij
|, i, j = 1, 2, 3, 4 равна 0.1179,
т. е. выполняется условие
β
≤
2
1
, и можно пользо-
ваться критерием окончания итерационного про-
цесса (3.32).
90 
                                                                         Пример 3.5.
                                                             Применим метод простой итерации Якоби
                                                       для решения системы уравнений
                                                         20.9x1 + 1.2 x2 + 2.1x3 + 0.9x4 = 21.70
                                                         1.2x1 + 21.2 x2 + 1.5x3 + 2.5x4 = 27.46
                                                         2.1x1 + 1.5 x2 + 19.8x3 + 1.3x4 = 28.76       (3.33)
                                                         0.9x1 + 2.5 x2 + 1.3x3 + 32.1x4 = 49.72
                                Рис. 5.2.                    Заметим, что метод простой итерации схо-
                                                       дится, т. к. выполняется условие преобладания
                                                       диагональных элементов (3.28):
                                                                     |20.9| > |1.2| + |2.1| + |0.9|,
                                                                     |21.2| > |1.2| + |1.5| + |2.5|,
                                                                     |19.8| > |2.1| + |1.5| + |1.3|,
                                                                     |32.1| > |0.9| + |2.5| + |1.3|.
                                                       Пусть требуемая точность ε = 10–3. Вычисления
                                                       будем проводить с четырьмя знаками после деся-
                                Рис. 5.3.              тичной точки.
                                                             Приведем систему к виду (3.25):
Эта фигура состоит из n прямоугольников. Осно-          x1 = – 0.0574 x2 – 0.1005x3 – 0.0431x4 + 1.0383
вание i-го прямоугольника образует отрезок              x2 = – 0.0566x1 – 0.0708x3 – 0.1179x4 + 1.2953
[xi,.,xi+1] длины h, а высота основания равна значе-    x3 = – 0.1061x1 – 0.0758 x2– 0.0657x4 + 1.4525 (3.34)
нию функции в середине отрезка [xi,.xi+1], т е.         x4 = – 0.0280x1 – 0.0779 x2 – 0.0405x3+ 1.5489
     xi + xi +1 ⎞
f. ⎜⎛           ⎟ (рис. 5.4).                          Величина β = max | bij|, i, j = 1, 2, 3, 4 равна 0.1179,
   ⎝     2      ⎠                                      т. е. выполняется условие β ≤ 12 , и можно пользо-
                                                       ваться критерием окончания итерационного про-
                                                       цесса (3.32).
                                   90                                            55

Страницы