Введение в численные методы. Гладких О.Б - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Справедлива следующая апостериорная
оценка погрешности:
max|
x – x | ≤
*
i
k
i
β
β
−1
1+k
i
k
max| x – x
i
|, (3.29)
i = 1, 2, …, n,
где
β
= max |b
ij
| i, j = 1, 2, …, n.
Правую часть оценки (3.29) легко вычислить после
нахождения очередного приближения.
Критерий окончания. Если требуется найти реше-
ние с точностью
ε
, то в силу (3.29) итерационный
процесс следует закончить, как только на (
k+1)-ом
шаге выполнится неравенство:
Рис. 5.4.
Тогда получим квадратурную формулу средних
прямоугольников
:
b
β
β
−1
1+k
i
k
i
1+k
i
k
i
max| x – x | <
ε
, i = 1, 2, …, n. (3.30)
I = ≈ I
пр
=
Поэтому в качестве критерия окончания ите-
рационного процесса можно использовать нера-
венство
max|
x – x | <
ε
1
, i = 1, 2, …, n. (3.31)
где
ε
1 =
β
β
−1
ε
.
Если выполняется условие
β
≤
2
1
1+k k
i
91
, то можно поль-
зоваться более простым критерием окончания:
max|
x
i
– x | <
ε
, i = 1, 2, …, n. (3.32)
В других случаях использование критерия
(3.32) неправомерно и может привести к прежде-
временному окончанию итерационного процесса.
∫
a
dxxf )(
∑
−
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
1
0
1
2
n
i
ii
xx
f
n
ab
л
пр
. (5.3)
Формулу (5.3) называют также
формулой средних
прямоугольников.
Иногда используют формулы
I ≈ I
=
∑
=
−
0
)(
i
i
xf
n
ab
п
пр
−1n
, (5.4)
I ≈ I
=
∑
=
−
n
i
i
xf
n
ab
1
)( , (5.5)
которые называют соответственно
квадратурными
формулами левых и правых прямоугольников.
Гео-
метрические иллюстрации этих формул приведены
на рис. 5.5 и 5.6.
54 
     Справедлива следующая                              апостериорная
оценка погрешности:
                                   β
           max| x *i – x ik | ≤          max| x ik +1 – x ik |,   (3.29)
                                  1− β
       i = 1, 2, …, n,
где β = max |bij| i, j = 1, 2, …, n.
Правую часть оценки (3.29) легко вычислить после
нахождения очередного приближения.
Критерий окончания. Если требуется найти реше-
ние с точностью ε, то в силу (3.29) итерационный                                                        Рис. 5.4.
процесс следует закончить, как только на (k+1)-ом                          Тогда получим квадратурную формулу средних
шаге выполнится неравенство:                                               прямоугольников:
             β
                  max| x ik +1 – x ik | < ε, i = 1, 2, …, n. (3.30)                 b
                                                                                                           b − a n −1 ⎛ xi + xi +1 ⎞
           1− β                                                                 I = ∫ f ( x )dx ≈ Iпр =          ∑ f ⎜ 2 ⎟⎠ .
                                                                                                             n i =0 ⎝
                                                                                                                                       (5.3)
                                                                                    a
     Поэтому в качестве критерия окончания ите-
                                                                           Формулу (5.3) называют также формулой средних
рационного процесса можно использовать нера-
венство                                                                    прямоугольников.
                                                                                Иногда используют формулы
      max| x ik +1 – x ik | < ε1, i = 1, 2, …, n. (3.31)
                                                                                                         b − a n −1
где ε1 =
           1− β
                  ε.
                                                                                           I ≈ I прл =         ∑ f ( xi ) ,
                                                                                                           n i =0
                                                                                                                                       (5.4)
             β
                                                                                                         b−a n
Если выполняется условие β ≤ 12 , то можно поль-                                           I ≈ I ппр   =       ∑ f ( xi ) ,
                                                                                                           n i =1
                                                                                                                                       (5.5)
зоваться более простым критерием окончания:                                которые называют соответственно квадратурными
       max| x ik +1 – x ik | < ε, i = 1, 2, …, n. (3.32)                   формулами левых и правых прямоугольников. Гео-
      В других случаях использование критерия                              метрические иллюстрации этих формул приведены
(3.32) неправомерно и может привести к прежде-                             на рис. 5.5 и 5.6.
временному окончанию итерационного процесса.

                                    54                                                                      91

Страницы