Введение в численные методы. Гладких О.Б - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

53
1
1
+k k
2
k
3
k
n 1
−
k
n
1
2
+k k
1
k
3
k
n
1−
k
n
1
3
+k k k
2
k
n 1
−
k
n
n
1 2 3
n
1−
∑
≠=
n
ijj
ij
a
,1
|
x = b
12
x + b
13
x + … + b
1 n-1
x + b
1n
x + c
1
x
= b
21
x + b
23
x + … + b
2 n-1
x + b
2n
x + c
2
x
= b
31
x
1
+ b
32
x + … + b
3 n-1
x + b
3n
x + c
3
...........................................................................
x
1+k
= b x
k
+ b x
k
+ b x
k
+ b x
k
n1
n2 n3
+ ...
n n-1 n
+ c
(3.27)
Система (3.27) представляет собой расчетные
формулы метода простой итерации Якоби
.
Сходимость метода простой итерации. Известно
следующее
достаточное условие сходимости ме-
тода простой итерации Якоби.
Если элементы матрицы
Рис. 5.5.
A удовлетворяют
условию:
|
a
ii
| >
|
, i = 1, 2, …, n. (3.28)
то итерационная последовательность
x
k
сходится к
точному решению
x
*
.
Условие (3.28) называют условием преобла-
дания диагональных элементов матрицы
A, так как
оно означает, что модуль диагонального элемента
i-ой строки больше суммы модулей остальных
элементов этой строки,
i = 1, 2, …, n.
Необходимо помнить, что условие
Рис. 5.6.
Оценка погрешности. Для оценки погрешности
формулы прямоугольников воспользуемся сле-
дующей теоремой .
Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно
дифференцируема на отрезке [
a, b]. Тогда для
формулы прямоугольников справедлива следую-
щая оценка погрешности:
сходимо-
сти (3.28) является лишь достаточным. Его выпол-
нение гарантирует сходимость метода простых
итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не
означает, что метод расходится.
92 
                                                 x 1k +1 = b12 x 2k + b13 x 3k + … + b1 n-1 x kn −1 + b1n x kn + c1
                                                 x k2 +1 = b21 x 1k + b23 x 3k + … + b2 n-1 x kn −1 + b2n x kn + c2
                                                 x 3k +1 = b31 x 1k + b32 x k2 + … + b3 n-1 x kn −1 + b3n x kn + c3
                                                 ........................................................................... (3.27)
                                                 x kn +1 = bn1x 1k + bn2 x 2k + bn3 x 3k + ... + bn n-1 x kn −1 + cn

                                                 Система (3.27) представляет собой расчетные
                                                 формулы метода простой итерации Якоби.
                                                 Сходимость метода простой итерации. Известно
                   Рис. 5.5.
                                                 следующее достаточное условие сходимости ме-
                                                 тода простой итерации Якоби.
                                                       Если элементы матрицы A удовлетворяют
                                                 условию:
                                                                                n
                                                                  | aii| >    ∑| a
                                                                             j =1, j ≠i
                                                                                          ij   | , i = 1, 2, …, n.    (3.28)
                                                 то итерационная последовательность xk сходится к
                                                 точному решению x*.
                                                       Условие (3.28) называют условием преобла-
                   Рис. 5.6.
                                                 дания диагональных элементов матрицы A, так как
Оценка погрешности. Для оценки погрешности       оно означает, что модуль диагонального элемента
формулы прямоугольников воспользуемся сле-       i-ой строки больше суммы модулей остальных
дующей теоремой .                                элементов этой строки, i = 1, 2, …, n.
Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно         Необходимо помнить, что условие сходимо-
дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для     сти (3.28) является лишь достаточным. Его выпол-
формулы прямоугольников справедлива следую-      нение гарантирует сходимость метода простых
щая оценка погрешности:                          итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не
                                                 означает, что метод расходится.

                      92                                                                       53

Страницы