Составители:
из второго уравнения – неизвестную
x
2
:
1−
(b – a x – a x – … – ax
2
= a
2 21 1 23 3 2n
x
n
),
резу
22
и т. д. В льтате получим систему:
x
1
= b
12
x
2
+ b
13
x
3
+ … + b
1,n-1
x
n-1
+ b
1n
x
n
+ c
1
x
2
= b
21
x
1
+ b
23
x
3
+ … + b
2,n-1
x
n-1
+ b
2n
x
n
+ c
2
x
3
= b
31
x
1
+ b
32
x
2
+ … + b
3,n-1
x
n-1
+
b
3n
x
n
+ c
3
(3.25)
………………………………………………………
x
n
= b
n1
x
1
+ b
n2
x
2
+ b
n3
x
3
+ b
n,n-1
x
n-1
+ c
n
Матричная запись системы (3.25) имеет вид
(3.23). На главной диагонали матрицы
B находятся
нулевые элементы, а остальные элементы вычис-
ляются по формулам:
b
ij
=
ii
ij
a
a
− , c
i
=
ii
i
a
b
, i, j = 1,2, …n, i
≠
j (3.26)
Очевидно, что диагональные элементы матрицы A
должны быть отличны от нуля.
Выберем произвольно начальное приближе-
ние Обычно в качестве первого приближения бе-
рут
x
0
i
= c
i
или x
0
i
= 0. Подставим начальное при-
ближение в правую часть (3.25). Вычисляя левые
части, получим значения
x
1
, x
1
, …, x
1
. Продолжая
этот процесс дальше, получим последовательность
приближений, причем (
k + 1)-е приближение стро-
ится следующим образом:
1 2
n
93
|
I – I
пр
| ≤
24
)(
2
abM
−
h
2
, (5.6)
где
M
2
=
]
|f "(x)|
[
ba,
max
dxe
x
∫
−
1
0
2
2
x−
2
x−
2
x−
Пример 5.1.
Вычислим значение интеграла по
формуле средних прямоугольников (5.3) с шагом
h.=.0.1.
Составим таблицу значений функции
e (табл. 5.1):
Таблица 5.1
x
e
x
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
1.0000000
0.9975031
0.9900498
0.9777512
0.9607894
0.9394131
0.9139312
0.8847059
0.8521438
0.8166865
0.7788008
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
0.7389685
0.6976763
0.6554063
0.6126264
0.5697828
0.5272924
0.4855369
0.4448581
0.4055545
0.3678794
Производя вычисления по формуле (5.3), по-
лучим:
I
пр
= 0.74713088.
52
из второго уравнения – неизвестную x2: M 2 (b − a ) 2
| I – Iпр | ≤ h, (5.6)
x2 = a 22−1 (b2 – a21x1 – a23x3 – … – a2nxn), 24
и т. д. В результате получим систему: где M2 = max |f "(x)|
[a,b ]
x1 = b12 x2 + b13x3 + … + b1,n-1xn-1 + b1nxn + c1 Пример 5.1.
1
x2 = b21x1 + b23x3 + … + b2,n-1xn-1 + b2nxn + c2
∫ e dx
2
Вычислим значение интеграла −x
по
x3 = b31x1 + b32 x2+ … + b3,n-1xn-1 + b3nxn + c3 (3.25) 0
……………………………………………………… формуле средних прямоугольников (5.3) с шагом
xn= bn1x1 + bn2 x2 + bn3x3 + bn,n-1xn-1 + cn h.=.0.1.
Составим таблицу значений функции
Матричная запись системы (3.25) имеет вид 2
(3.23). На главной диагонали матрицы B находятся e (табл. 5.1):
−x
нулевые элементы, а остальные элементы вычис- Таблица 5.1
ляются по формулам: x e −x
2
x 2
e −x
aij bi 0.00 1.0000000 0.55 0.7389685
bij = − , ci = , i, j = 1,2, …n, i ≠ j (3.26) 0.05 0.9975031 0.60 0.6976763
aii aii 0.10 0.9900498 0.65 0.6554063
Очевидно, что диагональные элементы матрицы A 0.15 0.9777512 0.70 0.6126264
0.20 0.9607894 0.75 0.5697828
должны быть отличны от нуля. 0.25 0.9394131 0.80 0.5272924
Выберем произвольно начальное приближе- 0.30 0.9139312 0.85 0.4855369
ние Обычно в качестве первого приближения бе- 0.35 0.8847059 0.90 0.4448581
рут x i0 = ci или x i0 = 0. Подставим начальное при- 0.40 0.8521438 0.95 0.4055545
0.45 0.8166865 1.00 0.3678794
ближение в правую часть (3.25). Вычисляя левые
0.50 0.7788008
части, получим значения x 11 , x 12 , …, x 1n . Продолжая
этот процесс дальше, получим последовательность Производя вычисления по формуле (5.3), по-
приближений, причем (k + 1)-е приближение стро- лучим:
ится следующим образом: Iпр = 0.74713088.
52 93
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
